Fractal là một thuật ngữ do nhà Toán học Mandelbrot đưa ra khi ông khảo sát những hình hoặc những hiện tượng trong thiên nhiên không có đặc trưng về độ dài. Mandelbrot là nhà toán học vĩ đại của thế kỷ 20. Ông nó rằng: “Các đám mây không phải là hình cầu, các ngọn núi không phải là hình nón”. Theo ông Fractal là chỉ những đối tượng hình học có hình dáng ghồ ghề, không trơn nhẵn trong thiên nhiên | 152 Chương 3 Hình học afin thực 2 Phép vị tự Định nghĩa Cho 2 G E k e R . Ta gọi ánh xạ 11 E - E được xác đinh bởi VM e E 2M kÕM là phép vị tự tâm Ỉ2 và tỷ số k. và ký hiệu là Ilí 1. Nói cách khác VM G E HíìẶM - EỈ kí2M. NHẬN XÉT Ta có với mọi Í2 Ỉ2 thuộc E mọi k k thuộc R - 1 nếu E 0 II H . Ơ níJ Á - Như vậy một phép vị tự của E khác với Idg có một và chỉ một tâm và một và chỉ một tỷ số. Hai mệnh đề sau đây là hiển nhiên. Mệnh đề 1 và chỉ khi Một ánh xạ E E khác với Id là một phép vị tự khi là ánh xạ afin 1 có ít nhất là một điểm bất động . Tồn tại k G R sao cho ÁTd E Ta nói rằng một điểm A thuộc E là háỉ dộng hoặc hái hiến qua một ánh xạ E E khi và chỉ khi A A. Mệnh đề 2 Cho Ỉ2 G E. Ta có 1 V eR 2 H 7i Id 3 VẮ e R HrtỊ GAff E và H j Hari . Tập hợp các phép vị tự tầm íĩ là một nhóm đối với luật o và ánh xạ k là một phép đẳng cấu từ R x lên nhóm ấy. Tương tự như ở 2 Mệnh đề - Định nghĩa 3 ta chứng minh được Mệnh để sau Mệnh để - Định nghĩa 3 Tạp hợp T- n G E Ư HOí Q k e ExR là một nhóm con của GAff gọi là nhóm các phép vị tự - tịnh tiến của E. Ánh xạ afin 153 3 Phép chiếu Định nghĩa Cho w là một kgac của E W là một phần bù của w trong E. Phép chiếu hoặc toán tử chiếu lên IV song song với W và ký hiêu là p . là ánh xạ cho ứng-mỗi điểm M thuộc với điểm M 11 IV Y thuộc E sao cho iWelV và MM çW . NHẬN XÉT l Khi ký hiệu p ta có p c p p 2 Khi ký hiệu A là một điểm bất kỳ thuộc w và p là toán tử chiếu tuyến tính lên W song song W xem Tập 5 Ví dụ 2 ta có VM E A p- - AM . H- jy Từ dó ta suy ra Mênh để sau đây Mệnh đề Cho w là một kgac của IV là một phần bù của IV trong E. Phép chiếu p là một ánh xạ afin và P . là toán tử chiếu tuyến rIV IV v J tính lên w song song với IV . 4 Phép đối xứng Định nghĩa Cho IV là một kgac của IV là một phần bù của w trong p là phép chiếu lên IV song song với IV . Ta gọi ánh xạ từ E vào được xác định bởi VM e s - M p Af Àíp JƯ là phép đối xứng qua IV song song với W . NHẬN XÉT 1 Khi ký hiệu p P. vàS S. tacó
