Mục đích của đề tài này là chứng minh tồn tại đa thức bậc 5 không giải được bằng căn thức, không tồn tại công thức chung nào cho việc tìm nghiệm của phương trình bậc 5 từ các hệ số của nó thông qua hữu hạn các bước cộng, trừ, nhân, chia và khai căn các hệ số của nó. ABSTRACT The aim of this topic is showing the existence of quintic polynomial which is not solvable by radicals. So, there cannot exist any general formula for obtaining the roots of a quintic polynomial from its coefficients in. | TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NÃNG - SỔ 2 25 .2008 LÝ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ LÝ THUYẾT GALOIS FIELD EXTENSION THEORY AND GALOIS THEORY SVTH VÕ THỊ KHÁNH XUÂN Lớp 05TT Trường Đại học Sư Phạm gVhD THS. nguyễn viết đức Khoa Toán Trường Đại học Sư Phạm TÓM TẮT Mục đích của đề tài này là chứng minh tồn tại đa thức bậc 5 không giải được bằng căn thức không tồn tại công thức chung nào cho việc tìm nghiệm của phương trình bậc 5 từ các hệ số của nó thông qua hữu hạn các bước cộng trừ nhân chia và khai căn các hệ số của nó. ABSTRACT The aim of this topic is showing the existence of quintic polynomial which is not solvable by radicals. So there cannot exist any general formula for obtaining the roots of a quintic polynomial from its coefficients in a finite number of steps involving only addition subtraction multiplication division and the extraction of n th roots. 1. Tự đẳng cấu trường. Định nghĩa 1. Cho E là một mở rộng của trường K. Một tự đẳng cấu T của E thoả Ta a Va G K được gọi là một K- tự đẳng cấu của E. Định lí 1. Nếu E là một mở rộng của trường K thì các K- tự đẳng cấu của trường E tạo thành một nhóm kí hiệu AutK E và là nhóm con của Aut E . Định lí 2. Cho E là một trường H là tập hợp những tự đẳng cấu của E H G Aut E . Khi đó Kh a e E Ta aVT e H là trường con của trường E và H là tập các Kh - tự đẳng cấu của E. 2. Nhóm Galois và các tính chất của nhóm Galois. Định nghĩa 2 Hai phần tử liên hiệp . Hai phần tử u và v thuộc một mở rộng F của K được gọi là liên hiệp trên K nếu chúng cùng là nghiệm của cùng một đa thức bất khả quy thuộc K vl . Định lí 3. Cho F là một mở rộng hữu hạn của K. Khi đó mọi T là K- tự đẳng cấu của F và mọi u G F thì T u và u liên hiệp trên K. Định nghĩa 3 Nhóm Galois của một đa thức . Cho một trường K một đa thức 0 f GK . j có bậc n và N K u1 . un là trường nghiệm của f nhóm AutK N được gọi là nhóm Galois của đa thức f nhóm Galois của N trên K Ví dụ cho đa thức x4 - 5x2 6 G Q - j Ta có f x x2 - 2 x2 - 3 có 4 nghiệm là 5 2 -ự2 y 3
