Nghĩa là khi cho một tín hiệu đi qua một hệ thống tuyến tính, không đổi theo thời gian, thì phổ tần số của tín hiệu đầu ra sẽ bằng tích của phổ tần số của tín hiệu đầu vào và đáp ứng xung của hệ thống | Vậy X Z 1 2Z 4Z 2 2-Z với z 2 vàZ 0 Hình biểu diễn miền hội tụ của X Z trong mặt phẳng Z Im Z 9 _ Mặỉphang ỉ Z Z Miểnhội-tụ của X z Hình . Như vậy miền hội tụ của X Z là miền nằm bên trong vòng tròn có bán kính là 2 trừ gốc tọa độ. Bây giờ ta tính biến đổi z một phía của x n 00 2 1 Z x zí Z_ 2 2 z 1 2Z-1 4Z-2 VỚÍZ O n 0 n 0 Vậy miền hội tụ của X1 Z là toàn bộ mặt phang z trừ gốc toạ độ z 0. b Tiêu chuẩn Cauchy Phát biểu tiêu chuẩn Cauchy Tiêu chuẩn Cauchy khẳng định rằng một chuỗi có dạng 00 Xộ X X2 . n 0 hội tụ nếu điều kiện sau đây được thoả mãn lim x 1 l n- 00 Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi sau đây 1 1 1 . n 0 u n 1 với mọi n 0 Giải ứng dụng tiêu chuẩn Cauchy ta có lim lim l 1 n 1 Chuỗi này không thoả mãn điều kiện vậy chuỗi này phân kỳ. Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi sau đây 82 00 z. n . V l 1 I _ 1 1 . 1 . 3 9 n 0 Giải ứng dụng tiêu chuẩn Cauchy ta có l n n 4 1 3 vậy nó sẽ hội tụ. Chuỗi này thoả mãn điều kiện c Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy Để áp dụng tiêu chuẩn Cauchy chúng ta có thể chia chuỗi X Z thành hai chuỗi như sau X Z x n Z n Xị Z X2 Z Xĩ Z Y Z n n Q -1 X2 Z n o Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho chuỗi-Xj Z ỉ _ l n lim Ịx ri Z 1 dẫn đến lim Lc n 1 lz l - 1 fl QO I I lim x j l n 7 x_ z- 1 Vậy thì z R Đặt Ta có Khi đó chuỗi Xy Z sẽ hội tụ với z Rx_ tức là bên ngoài vòng tròn tâm là gốc tọa độ có bán kính là Rx. trong mặt phẳng phức z. Xem hình . Măt phăng ỉ. Re zl Hình Tương tự đối với chuỗi x2 Z ta có 83 -1 0 X2 Z Y xWn Xx w Z - x 0 n CO n co l - n ta có Đổi biến sô 00 X2 Z x -Z ZZ-x 0 0 Nếu x 0 là số hữu hạn ta áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho chuỗi x2 Z như sau lim x - Zz 1 dẫn đến lim x - 1 z z 1 - 00 I R. Đặt Ta có 1 Rr vậy thì z R. Như vậy chuỗi X2 Z sẽ hội tụ vởi z Rx tức là bên trong vòng tròn tâm là gốc toạ độ có bán kính là Rx trong mặt phẳng phức z hình cho ta biểu diễn trực quan miền hội tụ của x2 Z trong mặt phẳng z. Hình . Cuối cùng ta thấy rằng
