Thuộc tính là h(n1, n2) tăng lên một cách nhanh chóng được xem xét khi lựa chọn phương án lọc. Không phụ thuộc vào kích thước của ảnh, đưa ra phép nhân giứa đáp ứng tần số của ảnh và đáp ứng tần số của bộ lọc, và chúng ta chú ý rằng lỗi wrapapound chỉ xuất hiện ở miền nhỏ nằm ở đường bao của ảnh và trong phần lớn trường hợp lỗi này có thể bỏ qua. | F n 21 k w. k n 0 ở đây f k f kT và WN e j N. WN được gọi là hạt nhân của phép biến đổi. Tổng quát F n có dạng F n A n ejộ n Ký hiệu A n ộ n gọi là phổ khuyếch đại và phổ pha của F n . Biến đổi ngược DFT Hàm f k là biến đổi ngược DFT của F n cho bởi theo biểu thức f k yF n ej nk N n 0 Chứng minh Từ định nghĩa của DFT 1 N-1 1 N -1 _ XF n WNk -1 y Xf m WNn N n 0 N n 0 L 1 N-1 N-1 N X f m X w-m N m 0 n 0 N-1 m 0 N-1 Đặt 5 X wn k-m N n 0 Nếu k m thì s N. Nếu k m chúng ta có thể viết s 1 Wn k -m Wn 2 k -m . Wn N-1 k -m hoặc 1-W1N k-m I-W- 1 ữj 2 k-m 1 e j 5y k-m 1 - e N Khi e j2ĩĩ m 1 và ej2k n c m 1 với k m vì vậy s 0 với k m . Vì vậy biểu thức 6. 9 có thể rút gọn thành 76 N Ị-Ì F nWNk f -N n 0 Kết quả này giống như biểu thức . Khi f k có thể rút ra từ F n và ngược lại chúng gọi là cặp biến đổi. Cặp biến đổi này có dạng f k F n Chú ý từ biểu thức ta có thể dễ dàng chứng minh 1 N- . j 2 n k N f k N - ỵ F n e N N n 0 1 N-1 j 2 .nk 1 ZF n eN N n 0 f k Mặc dù f k được xác định trên miền k e 0 N nó vẫn là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ NT. T được bao hàm và rút ra từ biểu thức . Một vài tính chất của DFT Tuyến tính. Nếu ta có hai dãy tuần hoàn cùng f1 n và f2 n và cả hai dãy này tuần hoàn với chu kỳ N được dùng để tính f3 k ạfi k bf2 k là kết quả của biến đổi DFT f3 n cho bởi F3 n ạF1 n bF2 n ở đây ạ b là hằng số và F1 n DFT của f1 k F2 n DFT của f2 k Tính đối xứng. Tính đối xứng của DFT rất hay được dùng. N-1 F N - n y f k W -KN k 0 N-1 _-2tf 2 N - 1 -N p -nk y f k e N e N k 0 N-1 z f k e k 0 .2 1---nk e N 77 Nếu f k là thực thì 2x -1-- .nk N F N - n N-1 X f k e F n k 0 Dấu có nghĩa là liên hợp phức. Tích chập tuần hoàn. Coi fi k và f2 k là hai dãy tuần hoàn có chu kỳ N với biến đổi Fourier rời rạc là Fi n và F2 n . Xem xét tích F n2 .F n2 N-1 khi F1 1 X fi k1 Nn k k1 0 F2 2 X k 1M k2 0 N-1 N-1 F1 1 .F1 n1 X f1 k1 f2 k1 Wk2 k1 0 k2 0 N -1 N -1 XX f1 k1 Á k. WW -- W. . k1 0 n 0 và tại các vị trí n2 n2 n .
