Tài liệu tham khảo Đáp án và đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 12 | Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o thanh ho¸ §Ò chÝnh thøc Sè b¸o danh Kú thi chän häc sinh giái tØnh N¨m häc: 2009 - 2010 M«n thi: To¸n Líp: 12 THpt Ngµy thi: 24/ 03/ 2010 Thêi gian: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò thi) §Ò nµy cã 05 bµi gåm 01 trang Bµi 1: (4 ®iÓm) Cho hµm sè y = - x3 + 3x - 1 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. 2. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ (C) kÎ tõ ®iÓm M(-2; 1). Bµi 2: (6 ®iÓm) 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 3. T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi x . Bµi 3: (3 ®iÓm) 1. TÝnh tÝch ph©n: I = 2. Tõ c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5 cã thÓ lËp ®îc bao sè tù nhiªn gåm bèn ch÷ sè kh¸c nhau, trong ®ã ph¶i cã ch÷ sè 2 vµ 4 ? Bµi 4: (5 ®iÓm) 1. Cho h×nh lËp ph¬ng ABCDA'B'C'D' có c¹nh bằng a. Trªn các c¹nh BC vµ DD' lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm M vµ N sao cho BM = DN = x ( ). Chøng minh rằng MN AC' vµ t×m x ®Ó MN cã ®é dµi nhá nhÊt. 2. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho ®êng trßn (C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9 vµ ®êng th¼ng 3x - 4y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm P mµ tõ ®ã cã thÓ kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn PA vµ PB tíi (C) (A, B lµ c¸c tiÕp ®iÓm) sao cho PA PB. 3. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm M(1; 2; 3). ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua ®iÓm M vµ c¾t ba tia Ox, Oy, Oz lÇn lît t¹i A, B, C sao cho thÓ tÝch tø diÖn OABC nhá nhÊt. Bµi 5: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC kh«ng tï. Chøng minh rằng: Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? HÕt SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 5 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT Ngày thi: 24 - 3 - 2010 Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề) 0,25 0,25 Điều kiện: Hệ phương trình đã cho 0,5 Xét phương trình: 4(x - y) = Đặt t = x - y > 0 Nhận thấy: t = 1 và t = là nghiệm của phương trình. Xét hàm số f(t) = (t > 0) f'(t) = 4 - ln4 f'(t) = 0 có duy nhất một nghiệm: 0,5 Đặt t = t2 = -x2 + 2x + 24 x2 - 2x = 24 - t2 Xét hàm số f(t) = -t2 + t + 24 trên đoạn Ta có bảng biến thiên sau: Từ đó suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 0,25 * Trường hợp 2: Trong X không có chữ số 0. Có bốn cách xếp chữ số 2; ba cách xếp chữ số 4 và cách xếp ba chữ số 1; 3; 5. Đặt thì ; và Vậy MN vuông góc với AC' Gọi tâm đường tròn (C) là I (1; -2) và bán kính R = 3 Giả sử có điểm P thoả mãn bài toán tứ giác APBI là hình vuông cạnh bằng 3 Gọi giao điểm của ( ) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0); B(0; b; 0); C(0; 0; c) với a, b, c > 0 Phương trình ( ): Do ( ) đi qua điểm M Thể tích tứ diện OABC là Áp dụng bắt đẳng thức Côsi,ta có: Giá trị nhỏ nhất của V = 27 đạt được khi a = 3; b = 6; c = 9 Phương trình mặt phẳng ( ) là: Không mất tính tổng quát, giả sử Vì tam giác ABC không tù Đặt x = tan ; y = tan ; z = tan thì 0 < z y x 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 1 - x; 1 - y; 1 - z ta được: Vì xy + yz + xz = tan tan + tan tan + tan tan = 1 Suy ra: Vì x + y + z nên Từ đó suy ra điều cần chứng minh. 0,25 GHI CHÚ Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
