câu 1: Cho A, B là các ma trận vuông cấp 2010 với hệ số thực sao cho det A = det(A+B) = det(A+2B). | HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LAN THỨ XVIII 2010 Đề thi môn Đại số Thời gian làm bài 180 phút Câu 1. Cho A B là các ma trận vuông cấp 2010 với hệ số thực sao cho det A det A B det A 2B det A 2010B 0. i Chứng minh rằng det xA yB 0 với mọi X y 2 R. ii Tìm ví dụ chứng tỏ kết luận trên không còn đúng nếu chỉ có det A det A B det A 2B det A 2009B 0. Câu 2. Cho un vn wn là các dây số được xác định bởi u0 v0 w0 1 và 8n 2 N un 1 un 7vn 5wn Vn 1 2un 8vn 6Wn Wn 1 4un 16vn 12wn. Chứng minh rằng vn 2 là số nguyên chia hết cho 2n. Câu 3. i Chứng minh rằng ứng với mỗi số n nguyên dương biểu thức xn yn zn có thể biểu diễn dưới dạng đa thức Pn s P q bậc không quá n của các biến s X y Z p xy yz ZX q XyZ. ii Hây tìm tổng các hệ số của đa thức P2010 s P q . Câu 4. Xác định các đa thức thực P x thỏa mân điều kiện P x P x2 P x3 2x 8x 2 R. Câu 5. Chọn một trong hai câu sau 5a. Cho A là ma trận thực vuông cấp n 2 có tổng các phần tử trên đường chéo bằng 10 và rank A 1. Tìm đa thức đặc trưng và đa thức tối tiểu của A tức đa thức p t 0 bậc nhỏ nhất với hệ số của lũy thừa bậc cao nhất bằng 1 sao cho p A 0 . 5b. Cho A B C là các ma trận thực vuông cấp n trong đó A khả nghịch và đồng thời giao hoán với B và C. Giả sử C A B B. Chứng minh rằng B và C giao hoán với nhau. Ghi chú Cấn bộ coi thi không giải thích gì .
