Năm 1857 W. R. Hamilton, nhà toán học người Ailen đã đưa ra trò chơi sau đây: Trên mỗi đỉnh trong số 20 đỉnh của một khối đa diện 12 mặt ngũ giác đều có ghi tên một thành phố lớn của thế giới. Hãy tìm cách đi bằng các cạnh của khối này để đi qua tất cả các thành phố, mỗi thành phố đúng một lần. Bài toán này đã dẫn tới những khái niệm sau đây. Định nghĩa : Đường Hamilton là đường đi qua mỗi đỉnh của đồ thị đúng một lần. . | BÀI 13 . Chu trình Hamilton Năm 1857 W. R. Hamilton nhà toán học người Ailen đã đưa ra trò chơi sau đây Trên mỗi đỉnh trong số 20 đỉnh của một khối đa diện 12 mặt ngũ giác đều có ghi tên một thành phố lớn của thế giới. Hãy tìm cách đi bằng các cạnh của khối này để đi qua tất cả các thành phố mỗi thành phố đúng một lần. Bài toán này đã dẫn tới những khái niệm sau đây. Định nghĩa Đường Hamilton là đường đi qua mỗi đỉnh của đồ thị đúng một lần. Chu trình Hamilton là chu trình đi qua mỗi đỉnh của đồ thị đúng một lần. Ví dụ 1. Tổ chức tour du lịch sao cho người du lịch thăm quan mỗi thắng cảnh trong thành phố đúng một lần. 2. Cho quân mã đi trên bàn cờ vua sao cho nó đi qua mỗi ô đúng một lần bài toán mã đi tuần . Với một đồ thị đã cho đường chu trình Hamilton có thể tồn tại hoặc không. Ví dụ Hình . Đồ thị có và đồ thị không có chu trình Hamilton Định lý Rédei Đồ thị đầy đủ luôn có đường đi Hamilton. Chứng minh Xét đồ thị có hướng G. Ta chứng minh bằng quy nạp theo số đỉnh n của G. n 1 2 hiển nhiên. n n 1 Giả sử G là đồ thị đầy đủ có n 1 đỉnh và đồ thị G xây dựng từ G bằng cách bớt một đỉnh a và các cạnh kề với a. Đồ thị G có n đỉnh và cũng đầy đủ nên theo giả thiết quy nạp nó có đường Hamilton H Xj X2 . Xn Nếu trong G có cạnh xn a thì đường H a sẽ là đường Hamilton. Nếu trong G có cạnh a x1 thì đường a H sẽ là đường Hamilton. Trong trường hợp ngược lại đồ thị G phải có các cạnh a xn và x1 a nghĩa là có các cạnh ngược hướng nhau. Khi đó sẽ phải có ít nhất một cặp cạnh sát nhau nhưng ngược hướng nhau là Xị a và a xi 1 . Hình . Cách tìm đường đi Hamilton Ta có đường X1 . Xị a xi 1 . xn là một đường đi Hamilton của G. Đồ thị G được gọi là đồ thị có bậc 1 nếu tại mỗi đỉnh có đúng một cạnh vào và một cạnh ra. Hiển nhiên chu trình Hamilton là một đồ thị riêng bậc 1 của đồ thị đã cho. Định lý Đồ thị G V F có đồ thị riêng bậc 1 khi và chỉ khi V B -. V B F B . Chứng minh Ký hiệu tập đỉnh của đồ thị là V a1 a2 . an . Lập tập V b1 b2 . bn sao cho VnV .
