Tác phẩm Cơ sở phân tích kinh tế của Paul Samuelson công bố năm 1947 được xem là khởi đầu của toán kinh tế đương đại. Toán kinh tế còn được hiểu là phương pháp tiếp cận dưới hình thức toán học của khoa học kinh tế. | Cho u G X V H X Nếu Y uv thì x x Nếu Y u v thì J cF K Y Nếu goi-rr- là hàm cận biên - ký hiệu là MF - và gọi ax X là hàm trung bình - ký hiệu ià AF - của Y theo Xj thì Y ME v T7T AẸ 1-2 2. Tính hệ số tăng trưởng nhịp tăng trưởng Nếu trong trường hợp mô hình có biến ngoại sinh là biến thời gian khi này sự biến động của biến nội sinh theo thời gian được đo bằng hệ sô tăng trưởng nhịp tăng trưởng . Hệ số tăng trưởng của một biến đo tỉ lệ biến động của biến theo đơn vị thời gian. Giả sử Y F Xj X2 . Xn t với t là biến thời gian. Hệ số tăng trưởng của Y - ký hiệu là rY - được định nghĩa theo công thức ỠỴ 13 Thông thường rY được tính theo tỉ lệ . Thí dụ Với công thức tính lãi kép liên tục ta có lượng tiền thu được tại thời điểm t V tính theo công thức Vt V ert trong dó V là vốn gốc r là lãi suất t là thời gian. av Hệ sô tăng trưởng cùa V là rv r. Nếu thời gian t không quá dài hoặc lai suất r tính theo từng chu kỳ thì côhg thức trên có dạng Vt V t 1 r và do đó hệ sô tăng trường của V là Ln l r - r. Từ công thức định nghĩa hê sô tăng trưởng và các quy tắc tính đạo hàm ta có thể chứng minh các còng thức sau Cho Lí G t V H t Nếu Y uv thì rY I j rv Nếu Y Ư V thì rY rv - rv u V Nếu Y u V thì T . rv u v u u v Nếu Y u-V thì u V _ tv u-v u-v Tổng quát hơn nếu biến nôi sinh phụ thuộc thời gian một cách gián tiếp thông qua sự phụ thuộc vào thời gian của các biến khác tức là hàm số có dạng Y F Xj t X2 t . x t khi đó hệ sô tăng trưởng của Y có thể lính dựa vào hê sô tăng trưởng của các biến Xi theo công thức rY rX L18 i l trong đó là hệ giãn của Y theo X và rx là hệ sò tăng trưởng của Xị. hệ số thay thê bổ sung chuyển đổi Giả sử Y F Xị X .x tại X x giá trị tương ứng của Y là Y F X Y11. Vấn đề đặt ra là nếu ta cho hai biến ngoại sinh thay đổi và cố định các biến khác sao cho Y không đổi tức là Y Y thì sự thay đổi của hai biến này phải theo tỉ lộ nào Tuỳ thuộc vào ý nghĩa thực tiễn của hai biến tỉ lệ này có thể gọi là tỉ lệ hệ số thay thế
