1) Xét chuỗi số chuỗi số. với x là một số thực cho trýớc. Khảo sát sự hội tụ của Số hạng thứ n của chuỗi số là . Nhận xét rằng với x = 0 thì các số hạng ðều bằng 0 nên chuỗi hội tụ. Xét trýờng hợp x 0, ta có: | GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 co n 1 Xét chuỗi sô 1 với x là một sô thực cho trước. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi sô. Sô hạng thứ n của chuỗi sô là . Nhận xét răng với x 0 thì các sô hạng đêu bằng 0 nên chuỗi hội tụ. Xét trường hợp x 0 ta có Xí . íí 1 _ X U 4-1 íí Suy ra U . . __ 1 4 1 _ X lim lim . u _ 0. CO H 1 X _ . 1 . . Vậy chuỗi 1 hội tụ với mọi x. 2 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi sô -1 . Sô hạng thứ n của chuỗi sô là ĩ . Ta có K l tl 4-1 M ir J1 n l 1Ỹ lim 14 e và X 1. ỹ Ă -fỉ Suy ra chuỗi 1 phân kỳ. j3. Tiêu chuẩn cãn thức Cauchy. Sưu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 co JĐỊnli lý Tiêu chuẩn cãn thức Cauchy Xét chuỗi số dýơng 1 . Đặt Cn ũã. Nếu có một số q 1 và có một số tự nhiên n0 sao cho V n n0 Cn q CŨ thì chuỗi số 1 hội tụ. Nếu có một số tự nhiên n0 sao cho V n n0 Cn 1 CŨ thì chuỗi số 1 phân kỳ. Từ định lý trên ta rút ra hệ quả sau đây cũng đýợc gọi là tiêu chuẩn cãn thức Cauchy CŨ V Hệ quả Cho chuỗi số dýơng 1 . Giả sử lim Ị un X . Nếu X 1 thì chuỗi số 1 hội tụ. CO Nếu X 1 thì chuỗi số 1 phân kỳ. . y Lưu ý lim . Trong trýờng hợp - 1 thì ta chýa kết luận đýợc một cách chính xác chuỗi số dýơng hội tụ hay phân kỳ. Chuỗi là một ví dụ cho trýờng Sưu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 hợp chuỗi sô dương phân kỳ thỏa mãn điều kiện và chuỗi 1 là một ví dụ cho trường hợp chuỗi sô dương hội tụ thỏa mãn điều kiện . Các khẳng định i và ii trong hệ quả trên cũng đúng cho chuỗi bất kỳ với giả thiết rằng J íĐ i o V un X . JVí dụ 00 n í . Xét chuỗi sô 1 với x là một sô thực cho trước. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi sô. x U - Sô hạng thứ n của chuỗi sô là . Ta có À 0 khi n x 00 V- 1 íĩ Từ tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra chuỗi 1 hội tụ với mọi x. Xét sự hội tụ của chuỗi sô ỹ 2 jĩ 1 ì 2 n T 1 Ý Uĩi 1 Sô hạng thứ n của chuỗi sô là . Ta có 2. 2 khi n o y f 2 . ĩ 4- 1 X Ổ I l J . X Suy ra chuỗi sô 1 phân kỳ theo tiêu chuẩn Cauchy. 14. Tiêu chuẩn tích phân Cauchy. Định lý tiêu chuẩn tích phân Cauchy Sưu tầm by .
