TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ .gom cac chuyen de hay va kho se giup ich nhieu cho cac ban hoc sinh va giao vien | BẤT ĐẢNG THỨC VÀ Cực TRỊ Chuyên đề LTĐH 2011 Đe chứng minh các BĐT ta có thế sử dụng một số bất đắng thức hoặc dùng phương pháp đánh giá. dụng một sô BĐT eơ bản Các BĐT cơ bản ở đây là BĐT Cô-Si Với n số không âm bất kì a1 a2 . .an n 2 ta luôn có a1 a2 . an ------2--------n I dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n a1 a2 . an. BĐT Bunhiacôpxki Với hai bộ số thực bất kì a1 a2 . .an b1 b2 . .bn ta luôn có ab ab . a b 2 a2 a2 . a2 b 2 b . b2 II dấu bằng 1122 n n 12 n 12 n xảy ra khi và chỉ . a a. Khi 21 2 b1 b2 khi a b c. 11 BĐT . -------------------- a1 a2 an a1 a2 . an dương dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau. . BĐT a2 b2 c2 bn ab bc ca III dấu bằng xảy ra n2 1 IV trong đó a1 a2 . .an là các số Bài 1 Cho a b 0. Chứng minh 1 4 1. 7 a a L _ 3 b a -----7- 3 c a - 7- 2yJ2. b a - b a - b b 1 2 b a - bỷ Giải a Theo BĐT I ta có b a b 33 b. a b . 1 3 b a b b a b đpcm . Dấu bằng xảy ra khi b 1 a 2. Bài 2 Cho a 1 b 1. Chứng minh a b 1 b a 1 ab. www. mathvn. com 1 Giải Theo BĐT I ta có a Jb 1 ad b 1 .1 a. 1 tương tự ta 2 2 cũng có b a -1 khi a b Bài 2 ab . Cộng các vê của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm. Dâu băng xảy ra 2. a b c là ba số không âm có tong băng 1. Chứng minh ab bc ca - abc 8 27. rT 1 T. r T 7Ĩ X 1 7T7Ĩ 7 1 -- a 1 -- b 1 --- c 2 Giải Theo BĐT I ta có .ự 1 - a 1 - b 1 - c ------------7 ì------------------- 3 1 - a - b - c ab bc ca - abc ab bc ca - abc 8 27 đpcm . Dâu băng xảy ra khi a b c 1 3. Bài 3 Cho ba số không âm a b c. Chứng minh a3 b3 c3 a2 Jbc b24ẽã c2y ãb . Giải Theo BĐT I ta có 4a3 b3 c3 66 a3 b3c3 6a2 yỊbẽ tương tự ta cũng có 4b3 c3 a3 6b2 dca 4c3 a3 b3 6c2 slab cộng các vê của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dâu băng xảy ra khi a b c. Bài 3 Cho ba số dương x y z. Chứng minh x y z 6 xy2z3 432. Bài 4 Tìm GTNN của biểu thức P x y 9 x3y6 trong đó x y là các số dương. Giải Theo BĐT I ta có y Y 6 30 è60 x y 3 r x V x P Vậy GTNN của p băng 39 26 khi y 2x. Bài 5 Ba số
