Tài liệu toán tuyến tính cho các bạn sinh viên ôn thi toán tốt | NỘI DUNG 1. Định nghĩa: Cho V và W là hai không gian vec-tơ. Ánh xạ f: V-> W gọi là 1 ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây: (L1): f(u + v ) = f(u) + f(v), mọi u,v thuộc V (tính bảo toàn phép cộng) (L2): f(λu) = λf(u), mọi λ thuộc R , mọi u thuộc V (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng) - Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng: f : V -.> W là ánh xạ tuyến tính: f ( λ1u1 + λ2u2) = λ1f(u1) + λ2f(u2) , λ1, λ2 thuộc R , u1 , u2 Є V 2. Các phép toán về ánh xạ tuyến tính: Cho f : V-> W và g: V-> W là hai ánh xạ tuyến tính: a. Tổng của hai ánh xạ tuyến tính: mọi u Є V , ( f + g )( u ) = f ( u ) + g ( u ) Є W. b. Tích của ánh xạ f và số thực λ , kí hiệu là λf , là ánh xạ xác định bởi : mọi u Є V , ( λf ) (u) = λf (u) Є W. c. Gỉa sữ V, W, U là ba không gian veto f: V->W và g: W-> V, là hai ạnh xạ tuyến tính. Khi đó , ánh xạ hợp dược xác định bởi: mọi u Є V , ( g0 f ) (u) = g ( f(u) ) Є U là một ánh xạ từ V tới U. Như thế hợp của hai ánh xạ là một ánh xạ tuyến tính 3. Tính chất: Cho là ánh xạ tuyến tính V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số K. Khi đó: 1. 2. Chứng minh: 1. Ta có: Suy ra: (*) Mặt khác: (**) Do đó, từ (*), (**) ta có: f(0V) = 0w 2. Ta có: 4. Các ví dụ áp dụng: . 1anh xạ hằng giá trị không: là một ánh xạ tuyến tính và gọi là ánh xạ không. 2Ánh xạ đồng nhất , là một phép biến đổi tuyến tính trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất (hay toán tử đồng nhất) trên V. 3. Phép lấy đạo hàm là một phép biến đổi tuyến tính trên không gian R[x] các đa thức thực một biến x. lấy tích phân xác định: là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b] đến không gian R. 5: Cho điểm . Phép lấy đối xứng qua trục Oy là một phép biến đổi tuyến tính. Nghĩa là: là một phép biến đổi tuyến tính. 6 Các ánh xạ sau co phải ánh xạ tuyến tính không? a. f: R3 -> R3 f ( x1, x2 , x3 ) = (x1 – x3 , x2 , 5) : R3 -> R3 f ( x1 , x2 , x3 ) = (x2 – x3 , x1 , x2 ) Giải: a. x = ( x1 , x2 , x3 ) Є R3 y = ( y1 y2, y3) Є R3 x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) f ( x +y) = ( x1+ y1– x3 –y3 , x2+ y2 , 5) f ( x) = f ( x1, x2, x3) = ( x1 – x3 , x2 , 5 ) f ( y ) = f ( y1, y2, y3) = ( y1-y3, y2, 5) vậy f ( x+y ) khác f(x) + f(y) mọi x y Є R3 Vậy f không phải là ánh xạ tuyến tính. b. * x= ( x1,x2, x3) Є R3 y = (y1, y2 ,y3 ) Є R3 x + y = ( x1 + y1, x2 + y2 , x3 +y3 ) f (x+y) = (x2 + y2 – x3 – y3 , x1 + y1, x2 + y2 ) f(x) = f ( x1, x2, x3) = ( x2 – y3, x1 , x2 ) f (y) = f ( y1, y2,y3 ) = ( y2 – y3, y1, y2 ) Như vậy f ( x + y ) = f(x) + f(y) mọi x,y Є R3 λx = (λx1, λx2 , λx3 ) f ( λx) = ( λx2 – λx3 , λx1 , λx2 ) = λ ( x2 – x3 , x1 , x2 ) = λ . f(x) Vậy f là một ánh xạ tuyến tính. 7 . Cho ánh xa tuyến tính sau: a. f: V-> R ,f(v1) = 2 , f(v2) = -3 tính f ( 5v1+ 9v2 ) b. f: V-> R f( x+ 2) =1, f(1) = 5 f ( x2 + x) =0 Tính f ( 2-x+3x2 ) Giải a. f(5v1 + 9v2) = f (5v1 ) + f(9v2) = 5f (v1) + 9f(v2) = 5 .2 + 9. (-3) = -17 b. f (1) = 5 => f(2) = 2f(1) = 10 f( x+2) = 1 => f(x) + f(2) = 1 => f(x) = -9 f(x2 + x) =0 => f(x2) + f(x) =0 f(x2) = 9 f( 2-x+3x2 ) = 10 + 9 +27 = 46.
