Từ đó, xem như một trường hợp riêng của phép biến đổi toạ độ, ta có thể nhận được phép biến đổi các toạ độ khi chuyển từ một hệ toạ độ này sang một hệ toạ đồ khác có chung gốc. Chọn một điểm M và nối M với gốc chung O của cả hai tam diện toạ độ. Bán kinh vectơ r của điểm M có các toạ độ x, y, z trong hệ toạ độ của và x1, y1, z1 trong hệ toạ độ mới. | Từ đó xem như một trường hợp riêng của phép biến đổi toạ độ ta có thể nhận được phép biến đổi các toạ độ khi chuyển từ một hệ toạ độ này sang một hệ toạ đồ khác có chung gốc. Chọn một điểm M và nối M với gốc chung O của cả hai tam diện toạ độ. Bán kinh vectơ r của điểm M có các toạ độ x y z trong hệ toạ độ của và x1 y1 z1 trong hệ toạ độ mới. Theo các công thức và ta sẽ có x1 a1x P1y Y1z x1 a1x1 a2y1 a3z1 Ỵ1 p2y Y2z y1 01x1 p2y1 p3z1 zi p3y Y3z zi Yixi Y2y1 Y3zi Khi cho biết một vecto bằng các thành phần của nó trong một hệ toạ độ nào đó ta ngầm hiểu rằng các thành phần của nó trong một hệ toạ độ mới bất kỳ sẽ được xác định theo công thức hoặc của phép biến đổi các toạ độ vectơ. Tuy nhiên cũng có thể cho một vectơ bằng phương pháp khác mà ta cần phải tính các thành phần của nó trong một hệ toạ độ bất kỳ. Trong trường hợp này ta còn cần phải kiểm tra xem công thức có được thoả mãn hay không khi thực hiện việc chuyển đổi từ hệ toạ độ này sang hệ toạ độ khác. Để minh hoạ giả sử các toạ độ x y z của bán kính vectơ r là các hàm của tham số t. Ta thử xác định các thành phần của vectơ v mới theo các công thức vx dx dt vy dy dt vz dz dt Đối với mọi hệ toạ độ ta cần chứng minh rằng v quả là một vectơ. Ta có vx1 dx1 dt d a1x P1y Y1z dt a1dx dt P1dy dt Y1dz dt 7. v p1vy Y1dz ab Pl Y1 không cần lấy đạo hàm vì đó là các cốin không đổi của các góc giữa trục x1 bất động và các trục x y z bất động . Đối với các thành phần khác ta cũng nhận được các công thức tương tự. Nói cách khác v quả thực là một vectơ. Ngoài ra bạn đọc cần chú ý thêm một hệ quả của các công thức đã trình bày. Trong đại số vectơ ta đã biết công thức tính độ dài gọi là suất hoặc cường độ của một vectơ qua các thành phần của nó a2 ax2 ay2 az2 Ở đây vế trái của biểu thức không phụ thuộc vào hệ toạ độ mà ta đã tính ax ay az vì vậy biểu thức ax2 ay2 az2 luôn giữ nguyên giá trị của nó khi biến đổi từ bất kỳ một hệ toạ độ vuông góc này sang bất kỳ một hệ toạ độ vuông .
