Tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên học toán tốt để ôn thi đạt kết quả cao | Chương 6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân là phương trình chứa các biến số độc lập hàm phải tìm tức là các ẩn và các đạo hàm của nó. Nếu trong phương trình vi phân ptvp chỉ có hàm một biến thì phương trình được gọi là phương trình vi phân thường. Nếu hàm phải tìm là hàm nhiều biến số thì ptvp được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng. Ví dụ . Các phương trình ysinx y cosx 1 0 y 2 - 2y4 0 y 2 _ 4y ex _ x là các phương trình vi phân thường. Các phương trình @2z @2z dx2 dy2 d2u 2@2u @x2 a dý2 là các phương trình vi phân đạo hàm riêng Chú ý - Ta chỉ xét phương trình vi phân thường. - Ta gọi cấp cao nhất của các đạo hàm có mặt trong phương trình vi phân là cấp cao nhất của phương trình vi phân đó. Phương trình vi phân cấp 1 Định nghĩa và các khái niệm cơ bản a Định nghĩa Định nghĩa . Phương trình vi phân cấp 1 là pt có dạng F x y ý 0 Trong đó F là hàm của 3 biến độc lập x là biến độc lập y y x hàm phải tìm y là đạo hàm của y. dy Ngoài ra người ta còn có the viết phương trình vi phân cấp 1 có dạng y f x y hoặc dx f x y với f x y là hàm của 2 biến độc lập. http 63 b. Nghiệm của phương trình vi phân Là 1 hàm y y x hoặc x y 0 xác đinh trong khoảng a b là nghiệm của phương trình . Nếu thay thế vào phương trình vi phân ta có đồng nhất thức. Khi đó đồ thi của y y x được gọi là đường cong tích phân của phương trình vi phân. Ví dụ . Phương trình y 2x là ptvp cấp 1 có 1 nghiệm y x2. Ngoài ra y x2 C C Const cũng là nghiệm của phương trình vi phân trên. c. Nghiệm tổng quát của ptvp Là hàm số có dạng y x C hoặc x y C 0 C- hằng số thoả mãn điều kiện i Nó thoả mãn phương trình mọi giá tri của C ii Tại mọi điểm xo yo ta tìm được 1 giá tri Co sao cho hàm số y x Co thoả mãn điều kiện y x xo yo. d. Nghiệm riêng của ptvp Hàm số y x Co ứng với giá tri Co tại điểm x0 yo gọi là nghiệm riêng của phương trình. Nó biểu diễn một đường cong đi qua điểm xo yo . Ví dụ . Phương trình y0 y có nghiệm tổng quát In y x C với y 0 nghiệm
