Tham khảo tài liệu 'chương 3: phép tính vi phân của hàm một biến', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Chương 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Dãy số và giới hạn của dãy số Định nghĩa giới hạn của dãy số Định nghĩa . Dãy số thực là một ánh xạ a N R n a n an Khi đố ta được một dãy các số thực a1 a2 .an . Kí hiệu là an . an gọi là số hạng tong quát thứ n của dãy. Dãy số hoàn toàn được xác định khi biết số hạng tong quát của nố. - Dãy con. Cho dãy số thực an . Giả sử n1 n2 .nk . là một dãy tang thực sự các số tự nhiên thì dãy nni an2 . ank . là dãy con của dãy an và viết là ank c an . Định nghĩa . Ta nối rằng a lim an 8 0 9N 8n N an a nu - Khi đố ta nối dãy an hội tụ đến a. - Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ. Định lý . Giới hạn của dãy số nếu cố là duy nhất. Chứng minh. Giả sử lim an a . Nếu có số b a cũng là giới hạn của dãy an . Khi đó với j - I 0 thì 9N1 8n N1 an a 9N2 8n N2 an b Chọn N0 max N1 N2 thì với mọi n N0 ta có a b a an an b a an an b 2. a b Mâu thuẫn chứng tỏ điều giả sử là sai đinh lý được chứng minh. Định lý . Nếu dãy số thực an cố giới hạn là a thỉ mọi dãy con của nố cũng cố giới hạn là a. Ví dụ . Xét dãy an sao cho an a với mọi n ta có lim an a. Thật vậy 8 0 9N 0 8n N an a a a 0 Tức là lim an a nu http 21 Ví dụ . Giới hạn lim 0. Thật vậy với mọi nu n 0 chọn N rn 1 thì với mọi n ta có an - 0 11 n N - - 0 n Ví dụ . Giới hạn lim qn 0 nếu q 1. Thật vậy - Nếu q 0 thì lim qn 0 Theo ví dụ 1 . - Nếu q 0 thì 8 0 9N log q 1 8n N an 0 qn 0 . Ví dụ . Giới hạn lim 1 n không tồn tại. nu Cách 1. Thật vậy giả sử ngược lại tồn tại giới hạn lim 1 n. Khi đó với 1 9N 8n N -1 n - a 1 Khi n chẵn và n lẻ ta có 1 a 1 và 1 a 1 Ta đi đến mâu thuẫn 2 1 1 1 - a a 1 1 - a 1 a 1 1 2. Cách 2. Xét hai dãy con với các chữ số chẵn và lẻ không cùng một giới hạn. Định nghĩa . Dãy an được gọi là bị chặn trên bị chặn dưới nếu tập A an n 2 N có tính chất tương ứng. Định lý . Dãy số an hội tụ thì nó bị chặn. Chứng minh. Giả sử lim an a. Khi đó với 1 9N0 8n N0 an a 1. nu Do đó an a 1 8n N0 Chọn M max a1 a2 . aNo a 1 thì rõ .
