CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH CẦU

CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH CẦU TÓM TẮT CÔNG THỨC (1) Phương trình mặt cầu 1) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) bán kính R là (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2) Dạng tổng quát của phương trình mặt cầu là x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 sẽ có tâm I(a, b, c) bán kính R = a 2 + b2 + c 2 – d 0 3) Điều kiện tiếp xúc giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu. | CHUYÊN ĐỀ 10 HÌNH CAU TOM TAT CONG THỨC 1 Phương trình mặt cầu 1 Phương trình mặt cầu S co tâm I a b c bán kính R là x-a 2 y - b 2 z - c 2 R2 2 Dang tong quát cUa phương trình mặt càu là x2 y2 z2 - 2ax - 2by - 2cz d 0 sẽ co tam I a b c ban kính R Va2 b2 c2 - d nếu ta co điều kiện a2 b2 c2 - d 0 3 Điều kiện tiếp xuc giữa mat phang P va mat cau S co tam I ban kính R la khoang cach tư I đền P bang ban kính R. Ví du 1 Lạp phương trình mat cau co tam I 2 3 -1 cat đương thang d 5x - 4y 3z 20 0 3x - 4y z - 8 0 tai hai điếm A va B sao cho AB 16 Giai Goi P la mat phang qua I va vuong goc đương thang d . Ta co phương trình tham sô đương d la x t - 14 1 25 1 y t - 2 2 z -t Goi P la mat phang qua I 2 3 -1 va vuong goc đương thang d nền co phap vềctơ la a -11. Vậy phương trình P viềt 2 x - 2 2 y - 3 - z 1 0 2x y - 2z - 9 0 Giao điếm K giưa d va P co tọa đo t - 14 2t - 22 -t v 2 2 7 thoa phương trình P . Vay ta co 1 2 t - 14 11 - 25 2t - 9 0 Suy ra t 11. Vậy ta có K -3 -7 -11 . Khoảng each từ I đến d la IK V-5 100 100 15 . cz AB7 r - Do đó ban kính mat cau la R ị IK2 --- y 225 64 V 4 Nến phương trình mặt cau viết la x - 2 2 y - 3 2 z 1 2 289 Ví du 2 Lạp phương trình mạt cau có tam thuộc đương thang d 2x 4y - z - 7 0 4x 5y z - 14 0 va tiếp xuc vơi hai mat phang có phương trình P x 2y - 2z - 2 0 Q x 2y - 2z 4 0 Giải Ta có P Q nến khi goi A B la giao điếm cua d vơi P va Q thì tam I mat cau tiếp xuc vơi P va Q phai la trung điếm đoan AB va ban kính mat cau bang khoang cach tư I đến P . Ta có toa đó A la nghiếm cua hế 2x 4y - z - 7 0 4x 5y z - 14 0 A 2 1 1 x 2y - 2z - 2 0 Ta có toa đó B la nghiếm cua hế 2x 4y - z - 7 0 4x 5y z - 14 0 B -4 5 5 x 2y - 2z 4 0 Vây tam mat cau la I -1 3 3 va ban kính R 1 Nến phương trình mat cau viết thanh x 1 2 y - 3 2 z - 3 2 1. Ví du 3 ĐH KHÔI D -2004 Trong khóng gian vơi hế toa đó Oxyz cho 3 điếm A 2 0 1 B 1 0 0 C 1 1 1 va mat phang P x y z - 2 0. Viết phương trình mat cau đi qua 3 điếm A B C va có tam thuộc mat phang P . Giải 2 a -1 b 0 1 c -1 d 1 .