ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chương V NHỊ THỨC NEWTON (phần 1) Nhị thức Newton có dạng : (a + b)n = C0 anb0 + C1 an-1b1 + + Cn a0bn n n n k = ∑ C n an − k b k k =0 n (n = 0, 1, 2, ) k Các hệ số C n của các lũy thừa (a + b)n với n lần lượt là 0, 1, 2, 3, được sắp thành từng hàng của tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal : (a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 =. | iuoiire -----anỉlite __. ĐẠI SO TO HỢP Chương V NHỊ THỨC NEWTON phần 1 Nhị thức Newton có dạng n_ z-i0 n 0 1 n-1 1 n 0 n ạ b cnạ b cnạ b . cnạ b cy- kbk n 0 1 2 . k 0 Cạc he sóó cn cũạ cạc lũy thừạ ạ b n với n lạn lượt lạ 0 1 2 3 . được sạp thạnh từng hạng cũạ tạm giạc sạũ đạy gói lạ tạm giạc Pạscạl ạ b 0 1 ạ b 1 ạ b ạ b 2 ạ2 2ạb b2 ạ b 3 ạ3 3ạ2b 3ạb2 b3 ạ b 4 ạ4 4ạ3b 6ạ2b2 4ạb3 b4 ạ b 5 ạ5 5ạ4b 10ạ3b2 10ạ2b3 5ạb4 b5 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 1 1 5 10 5 1 Các tính chất của tam giác Pascal i cn cn 1 cạc sóó hạng đạũ vạ cũóì mói hạng đềũ lạ 1. ii cn cn-k 0 k n cạc sOÓ hạng cạch đeũ sOÓ hạng đầũ vạ cũóì bạng nhạũ. iii cn cnk 1 Cn 1 0 k n - 1 tóng 2 só hạng lien tiếp ợ hạng tren bạng số hạng ợ giưạ 2 só hạng đó ợ hạng dưới. iv cn cn . cn 1 1 n 2n Cac tính chất của nhị thưc Newton i Só cạc só hạng tróng khại trie n nhị thưc ạ b n lạ n 1. ii Tổng số mũ cũạ ạ vạ b tróng từng só hạng cũạ khại trien nhị thức ạ b n lạ n. iii Só hạng thứ k 1 lạ cn ạn - k bk. Dang 1 TRựC TIEP KHAI TRIEN NHỊ THỨC NEWTON 1. Khai triển ax b n với a b 1 2 3 . Cho x giá trị thích hợp ta chứng minh được đẳng thức ve C0 cn . cn . Hai kết quá thưông dung 1 x n c0 c1 x c2 x2 cn xn Ỹ ckxk 1 1 x cn cnx cnx cn x A cnX 1 k 0 n n 0 1 22 n n n_ V7 nk k k 1 -x cn - cnx cnx . -1 cnx A -1 cnx 2 k 0 Ví dụ chưng minh á c0 c . cn 2n b cn-cn cn . -1 n cn 0 Giai a Viết lai đáng thưc 1 chon x 1 ta được điếu phái chưng minh. b Viết lai đáng thưc 2 chon x 1 ta được điếu phái chứng minh . 2. Tìm sô hang đứng trước x1 i đã cho trong khai triển nhị thức Newton cua một hiển thức cho san Ví dụ Giá sư so hang thứ k 1 cua á b n lá cn an - k bk .Tính so hang thư 13 trong khai triến 3 - x 15. Giai Ta co 3 - x 15 c0 315 - c1 314x ck 315 - k _x k _c15x15 3 x 15 3 15 3 .. . .1 15 3 . x. 15 .x. Do k 0 ứng vôi so hang thư nhát nến k 12 ứng vôi so hang thứ 13 Vậy so hang thứ 13 cua khai triến trến lá 12 O3 12 12 15 12 c123 -x 27x . 12 3 . 3. Doi với bai toan tìm so hang đọc lập với x trong khai triển nhị thức a b
