ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chương V NHỊ THỨC NEWTON (phần 2) Dạng 2: ĐẠO HÀM HAI VẾ CỦA KHAI TRIỂN NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC – Viết khai triển Newton của (ax + b)n. – Đạo hàm 2 vế một số lần thích hợp . – Chọn giá trị x sao cho thay vào ta được đẳng thức phải chứng minh. Chú ý : k • Khi cần chứng minh đẳng thức chứa k C n ta đạo hàm hai vế trong khai triển (a + x)n k • Khi cần chứng minh đẳng thức chứa k(k – 1) Cn ta đạo hàm 2 lần. | tuoiirè _ -----anỉlite . ĐẠI SO TO HỢP Chương V NHỊ THỨC NEWTON phần 2 Dạng 2 ĐẠO HẠM HẠI VE CỦẠ KHAI TRIe n newton đê CHỨNG MINH MỘT ĐẠNG thức - Viết khai trien Newton cua ax b n. - Đạo ham 2 vế một so lan thích hợp . - Chon gia trị x sao cho thay vao ta được đẳng thức phai chứng minh. Chú y Khi can chứng minh đang thức chứa kcn ta đao ham hai vế trong khai triến a x n-. Khi can chứng minh đang thức chứa k k - 1 c ta đao ham 2 lan hai vế cua khai trie n a x n. Bại 136. Chứng minh ạ c 2cn 3cn . n n2n-1 123 n-1 n b cn - 2cn 3cn -. -1 ncn 0 n-1 l O I 2 ữ ọn-3 3 n-1 n c 2 cn - 2 cn cn -. -1 ncn n. Giai Ta co nhị thức n 0 n 1 n-1 2 n-2 2 n n a x cna cna x cna x . cnx . Đao ham 2 vế ta đứỢc n-1 1 n-1 2 n-2 3 n-3 2 n n-1 n a x cna 2cna x 3cna x . ncnx ạ Vôi a 1 x 1 ta đứỢc cn 2cn 3cn . ncn n2n-1 b Vôi a 1 x -1 ta đứỢc f 1 Y 2 QC _ nn-Urn n Cn - 2Cn 3Cn - -1 nCn - 0 c Vôi a 2 x -1 ta được 2 n-1 cn _1n r T -V 3 I II 1 1n -n 2 Cn Cn - -1 nCn n Bai 137. Cho x - 2 100 ao a1x a2x2 . a1oox100 Tính a a97 b S a0 ai . ai00 c M ai 2a2 3a3 . 100ai00 Đại hoc Hang hải 1998 Giai Ta co x - 2 100 2 - x 100 r i0 Ọ100 r ll 99 j-pk ọ100-k k Z i100 100 c1002 - c1002 x c1002 -x c100x a Ung vôi k 97 ta được a97 Vay a97 C907023 -1 97 100 -8 x100x 99 X 98 - 1 293 600 3 97 6 b Đặt f x x - 2 100 a0 a1x a2x2 . a100x100 Chon x 1 ta được S a0 a1 a2 a100 -1 100 L c Ta co f x a1 2a2x 3a3x2 . 100a100x99 Mat khac f x x - 2 100 f x 100 x - 2 99 Vậy 100 x - 2 99 a1 2a2x 3a3x2 . 100a100x99 Chon x 1 ta được M a1 2a2 . 100a100 100 -1 99 -100 Bai 138. Cho f x 1 x n vôi n 2 a Tính f 1 b Chứng minh . n n - 1 c n n - 1 2n-2. Đại học An ninh 1998 Giai a Ta có f x 1 x n f x n 1 x n - 1 f x n n - 1 1 x n - 2 Vậy f 1 n n - 1 2n - 2 . b Dó khai triển nhị thức Newton f x 1 x n c0 C1x c2x2 c3x3 c4x4 . cnxn f x 1 x cn cnx cnx cnx cnx . cnx f x n 1 x n - 1 c1 2xc2 3x2c3 4x3c4 . nxn-1cn x n 1 x x_-n xx n x n x n . nx n f x n n - 1 1 x n - 2 2cn 6xc3n 12x2cn . n n - 1 xn-2cn .
