Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số I. Lý thuyết 1. Định nghĩa: . Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x 0 . Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x 0 ) có giới hạn là L khi x dần tới x 0 nếu với dãy số (x n ) bất kì, x n Î K \ {x 0 } và x n ® x 0 , ta có: f(x n ) ® L . Ta kí hiệu: lim f(x) = L hay f(x) ® L khi x. | Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số 1. Lý thuyết 1. Định nghĩa . Giới hạn hàm so Cho khoảng K chứa điếm X0 . Ta nói rằng hàm số f x xáe định trên K có thể trừ điếm X0 có giới hạn là L khi x dần tới X0 nếu với dãy số xn bất kì xn e K x0 và xn X0 ta có f xn L . Ta kí hiệu lim f x L hay f x L khi x x0 . x x0 . Giới hạn một bên Cho hàm số y f x xáe định trên x0 b .Số L gọi là giới hạn bên phải eủa hàm số y f x khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy xn x0 xn b mà xn x0 thì ta có f xn L . Kí hiệu lim f x L. x x Cho hàm số y f x xáe định trên a x0 .Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y f x khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy xn a xn x0 mà xn x0 thì ta có f xn L . Kí hiệu lim f x L . x x 0 Chú ý lim f x L lim f x lim f x L . x x0 x x x x- 0 0 . Giới hạn tại vô cực Ta nói hàm số y f x xáe định trên a có giới hạn là L khi x nếu với mọi dãy số xn xn a và xn thì f xn L . Kí hiệu lim f x L . x Ta nói hàm số y f x xáe định trên - b có giới hạn là L khi x - nếu với mọi dãy số xn xn b và xn - thì f xn L . Kí hiệu lim f x L . x - . Giới hạn vô cực Ta nói hàm số y f x có giới hạn dần tới dương vô eựe khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số xn xn x0 thì f xn . Kí hiệu lim f x . x y Tương tự ta eũng eó định nghĩa giới hạn dần về âm vô eựe Ta cũng eó định nghĩa như trên khi ta thay x0 bởi - hoặe . 2. Các định lí về giới hạn Định lí 1 Gới hạn eủa tổng hiệu tíeh thương mẫu số dẫn về L 0 khi x x0 hay x x - bằng tổng hiệu tíeh thương của eáe giới hạn đó khi x x0 hay x x - . Chú ý Định lí trên ta chỉ áp dụng eho những hàm số eó giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng eho các giới hạn dần về vô eựe Định lí 2 Nguyên lí kẹp Nguyễn Tất Thu - Trường Lê Hồng Phong - Biên Hòa - 1 - Giới hạn hàm số Cho ba hàm số f x g x h x xác định trên K chứa điểm X0 có thể các hàm đó không xác định tại x0 . Neu g x f x h x x e K và lim g x lim h x L thì lim f x L . x x 0 x Zq x x0 3. Một số gói hạn đặc biệt lim x2k X. x lim x2k 1 X x x lim f x X x o lim 0 x x0 x x0 f x k 0 V sin x x tan x x lim---- lim------- 1 tư
