Bài toán 1. Những hàm nào có nguyên hàm? Bài toán 2. Tìm nguyên hàm của một hàm đã cho. Nhận xét. Ở phần sau sẽ chứng minh mọi hàm liên tục là có nguyên hàm. 1 Hàm f (x) = (x sin ) có nguyên hàm nhưng không liên tục. x Hàm f (x) = sign(x) không có nguyên hàm (tại sao?). Bài toán đầu sẽ được xét ở phần sau. Sau đây là các qui tắc chính để tìm nguyên hàm. | 58 Vậy nếu F là một nguyên hàm của f trên a b thì y f x dx F x C trong đó C là hằng số tùy ý. Từ định nghĩa đạo hàm và tích phân là hai phép toán ngược của nhau y f x dx f x và y F x dx F x Bài toán 1. Những hàm nào có nguyên hàm Bài toán 2. Tìm nguyên hàm của một hàm đã cho. Nhận xét. Ở phần sau sẽ chứng minh mọi hàm liên tục là có nguyên hàm. Hàm f x x sin- có nguyên hàm nhưng không liên tục. Hàm f x sign x không có nguyên hàm tại sao . Bài toán đầu sẽ được xét ở phần sau. Sau đây là các qui tắc chính để tìm nguyên hàm. Qui tắc tính. Tính tuyến tính. Nếu f g có nguyên hàm trên một khoảng và a 3 R thì trên khoảng đó . . y af x 3g x dx a Ị f x dx 3 y g x dx Công thức đổi biến. Nếu x t là hàm có đạo hàm liên tục trên khoảng J và f x có nguyên hàm trên khoảng I ự J thì yf x dx yf t ự t dt yf t d t Công thức tích phân từng phần. Nếu u v là các hàm có đạo hàm liên tục trên một khoảng thì trên đó y u x v x dx u x v x Ị v x u x dx Hay viết theo lối vi phân y udv uv Ị vdu. Chứng minh Suy từ định nghĩa và công thức đạo hàm tổng tích và hợp. Từ đạo hàm các hàm sơ cấp tính ngược lại ta có Chương IV. Phép tính tích phân 59 Tích phân một số hàm sơ cấp. Với x thuộc một khoảng mà hàm dưới dấu tích phân xác định và C là hằng trên mỗi khoảng đó ta có Ị xadx ỉ 1 dx 7 x Ị axdx I sin xdx cos xdx I 1 5 dx J cos2 x í 1 V I dx J x2 a2 í dx J x2 a2 r dx J a2 x2 dx J x2 á2 Ị Va2 x2dx xa l a 1 C a 1 ln x C C Đặc biệt í exdx ex C In a J cos x C sin x C tan x C cota nx arctan x a ln 2a x2 a2dx x a arcsin C a In x x2 a21 C x .r 2 2 _5 x n V a2 x2 arcsin C x x2 a2 a In x ựx2 a21 C Bài tập Hãy kiểm tra đạo hàm vế phải bằng hàm trong dấu tích phân ở vế trái. Ví dụ. . . 1 x r í . í _Ị 2x 3 2 _ a J 2x sin x dx J 2xdx J sin xdx J x 3 dx cos x x3 C b 1 biến t ị ra dx adt. x2 a2 a2 x 2 a - 1 dx 1 dt Thay vào ta co T - . _ J J x2 a2 aj t2 1 - arctan t C arctan C c Để tính Ị Va2 x2dx có thể đổi biến x a sin t t G n n Khi đó dx a cos tdt thay vào ta có x2dx a2 a2 Ị ậ 1 sin2 I cos 2t
