ừ định lý trên ta có thể xem tích phân như giới hạn của tổng. Cụ thể, ta có f ∈ R[a, b]. Cho một dãy (Pn )n∈N các phân hoạch của [a, b], sao cho |Pn | → 0 (khi n → ∞). Khi đó f = lim S(f, Pn , ξn ) = lim U (f, Pn ) = lim L(f, Pn ) Nhận xét. Cho f ∈ R[a, b]. Với mỗi n ∈ N, phân hoạch đều [a, b] thành n đoạn, và trên mỗi đoạn chọn điểm đầu mút. Lập tổng Riemann tương ứng | 70 Theo tiêu chuẩn Riemann suy ra f e R a b . Cho e 0 ta có I f. J a Từ định lý trên ta có thể xem tích phân như giới hạn của tổng. Cụ thể ta có f E R a b . Cho một dãy Pn neN các phân hoạch của a b khi n x . Khi đó Hệ qủa. Gỉa sử sao cho Pn 0 b f Jim S f Pn n lim U f Pn lim L f Pn n -tt n -tt n -tt a trong đó n là các điểm chọn tùy ý theo Pn. Nhận xét. Cho f E R a b . Với mỗi n G N phân hoạch đều a b thành n đoạn và trên mỗi đoạn chọn điểm đầu mút. Lập tổng Riemann tương ứng Sn Ẻ f a i n n Khi đó I f lim Sn. Ja n rx Công thức trên cho phép tính tích phân thông qua giới hạn của tổng Sn hay xấp xỉ tích phân bởi tổng Snỵ Ngược lại công thức trên cũng cho phép tính giới hạn của tổng Sn thông qua việc tính tích phân. Ví dụ. Gỉa sử đã biết hàm f x xp với p 0 là khả tích. Khi đó r 1119 n n n 1 1 ĩ 2 2 1 ỉx lim I----- lim n x n n n n n x 1p 2p np 1 A c i V lim y n x n nj 1 - xxm Ị - x x nP 1 n x n nJ J0 p 1 _ . fb 2 . Í. . Tính x2dx thông qua tổng Riemann ứng với phân hoạch đều. J a ỉb dx . . . .r Bài tập Tính 0 a b thông qua tổng Riemann ứng với phân hoạch a b J a x bởi các điểm tạo thành cấp số nhân xk aqk k 0 n . b lim n Bài tập 0 Bài toán. Hàm nào thì khả tích Các lớp hàm khả tích Riemann. Mệnh đề 1 Nếu f giới nội và chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn trên a b thì f E R a b . 2 Nếu f đơn điệu trên a b thì f E R a b . Chứng minh Ta kiểm tra tiêu chuẩn Riemann. 1 Để đơn giản ta xét f chỉ gián đoạn tại một điểm c E a b trường hợp tổng quát chứng minh tương tự . Gọi M sup f x a x b . Chương IV. Phép tính tích phân 71 Cho e 0. Gọi e1 e 4M sao cho a c e1 c e1 b. Do f liên tục trên hai đoạn a c và c e1 b nên f liên tục đều trên đó. Với e2 e 2 b a tồntạỉ ỗ 0 f x f y e2 khi x y E a c e1 u c e1 b x y ỗ. Gọi P là phân hoạch a b sao cho P ỗ và gồm các điểm a x0 x1 xk-1 c e1 xk c e1 xn b Để ý là nếu i thì Mị mị e2 còn Mk mk 2M. Suy ra U f P L f P 2 Mị mi Axi Mk mk Axk b a t2 2Mễ1 e i k 2 Gỉa sử f đơn điệu không giảm trường hợp đơn điệu không tăng chứng minh tơng tự . Cho e 0. Gọi ỗ
