2 dấu hiệu tiếp theo suy từ |f (x)|dx ≤ (K + 1) |g(x)|dx b1 b1 Chỉ cần chứng minh dấu hiệu Dirichlet trường hợp ϕ giảm về 0 (?). Khi đó ϕ ≤ 0. x Đặt F (x) = f . Theo giả thiết |F (x)| | 82 . . . Fb -. f62 z I7 2 dấu hiệu tiếp theo suy từ f x dx K 1 g x dx Jbi Jbi Chỉ cần chứng minh dấu hiệu Dirichlet trường hợp ự giảm về 0 . Khi đó g 0. Đặt F x Ị f. Theo giả thiết F x M ix. Tích phân từng phần áp dụng định lý giá trị trung bình ta có zb2 b2 f x ự x dx Fự b1 - F x ự x dx MỊự 62 M ự b1 M w b2 w b1 Jbi Jbi Do ự x 0 khi x Xi nên tiêu chuẩn Cauchy thoả. 2 Trường hợp tích phân loại 2 Cho f g là các hàm xác định trên a b . các tiêu chuẩn sau pb r b Hội tụ tuyệt đối Nếu f x dx ty thì f x dx hội tụ. aa Ta có a So sánh Gỉa sử f x g x dx E a b . Khi đó b fb Nếu g x dx Ãộí tụ t ù f x dx hội tụ. Ja Ja p b f b Nếu f x dx ptân ty thì x dx phân kỳ. Ja Ja f x a K. Khi đó Giới hạn Gỉa sử lim . . x-tb- g x Nếu K 0 thì x dx và f x dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ. J a J a p b f b g x dx hội tụ suy ra f x dx hội tụ. Ja Ja í b f x dx x còn ự là hàm đơn điệu và lim ự x Ja x b- Nếu K 0 thì Ja a í- b ỉ tụ suy ra a Dirichlet Nếu sup a v b f b f x ự x dx a hội tụ . 0 thì a Chứng minh Việc chứng minh tương tự như tích phân loại 1 hay bằng phép đổi biến t đưa tích phân loại 2 về tích phân loại 1 x b Ví dụ. a Xét e-xX dx. So sánh e xX e lxl và e xdx hội tụ. Suy ra tích phân đang xét hội tụ. . . . Jỹ vx f tx sinxr tx cos x _1 __ . _ b Xét dx dx p 0 . J1 xp J1 xp b b Theo dấu hiệu Dirichlet tích phân sin xdx hay cos xdx bị chặn và giảm về . J1 J1 xP 0 nên tích phân trên hội tụ. c Tích phân Fresnel sin x2dx cos x2dx hội tụ vì sau khi đổi biến t x2 tt Chương IV. Phép tính tích phân 83 tích phân có dạng đã cho ở ví dụ b với p j. d Tích phân sau hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối Tính hội tụ suy từ ví dụ b với p 1. Tích phân không hội tụ tuyệt đối suy từ đánh giá f x sin x ----------dx. 0 x sin x x dx r dx 0x 1 n ĩdknlo 1 sin vr dx k 1j k-1 K x Ậ- y Ậ to khi n x 2n k k 1 f1 In x d. dx p 1 . Jo xp 1 e Xét 0 x-dx p 1 - So sánh giới hạn với p q 1 -npx- hội tụ. Suy ra tích phân đang xét hội tụ. xxp-1 dx hội tụ khi p 0. xq p In x 0 khi x 0 và f1 dx 0 xĩ _ . . f f Hàm Gamma r p 0 Điều đó
