Xét phương trình bậc 3: x3 + px + q = 0. Dùng phương pháp khảo sát hàm số, hãy xác định điều kiện của p, q sao cho phương trình: a) vô nghiệm b) có 1 nghiệm c) có 2 nghiệm d) có 3 nghiệm. Hãy vẽ tập hợp (p, q) đó trong mặt phẳng. | 106 5. 6. Tính các giới hạn của tổng trên ở bài b c d ở trên khi n Xi. Hd 2 sin x sin x sin nx cos x cos n x Cho f là hàm khả tích trên a b . Chứng minh n . b a x - k b a lim ------- f a n -tt n k 1 Ị f x dx IX 1 1 3 3n b lim en e n e n n n 1p 2p . np Tính a .lim 1 1 2 2 2 - n 2 n n n n c limi T --- i dl .lim n x n 1 n 2 2n n x nP 1 7. Cho Sn 1 1 -L sin2r 1 sin4n . 1 n sin ỉ n n L n n n n 1111 a Biểu diễn lim Sn qua tích phân xác định. n b Tính lim Sn. n tt 8. Cho f là hàm đơn điệu trên 0 1 Chứng minh f n Ề f n O n ưu n k 1 n n 9. Đúng hay sai I f x dx I f t dt I f u du. Ja Ja Ja 10. Phát biểu các tính chất đã sử dụng trong việc tính tích phân 3x2 5 dx 3 x2dx 5 dx 3 0 5 2 0 . Ju Ju Ju 3 11. Đúng hay sai nếu f khả tích thì f cũng khả tích. 12. Các hàm nào trong các hàm sau khả tích Riemann trên 0 1 a Hàm đặc trưng của tập 0 tn w W 1 b f x sin f 0 7 1U 1U 1U x 7 c f x nếu x n G N f x 0 trong trường hợp còn lại. d Hàm Dirichlet D x 0 nếu x hữu tỉ D x 1 nếu x vô tỉ. 13. Đúng hay sai nếu f khả tích trên a b và f x g x trừ ra một tập đếm được thì g khả tích. 14. Đúng hay sai nếu f khả tích trên a b và f x g x trừ ra một tập con hữu hạn thì g khả tích. x 15. Cho f là hàm liên tục trên a b . Chứng minh hàm F x f liên tục trên a a b và thỏ a F x F y max f t x y . tG a 6J Bài tập 107 _ __ _ . . . x2 . x2 16. Với 0 x 1 chứng minh . x2. Vĩ Vĩ x 1 ỉ1 x2 2 Suy 0 TT Xdx 3- 17. Chứng minh ỉ2 x dx -n2. 9 A sinX 9 6 18. Cho f là hàm liên tục trên a b f 0. Chứng minh a nếu tồn tại c sao cho f c 0 thì a f 0b nếu f 0 thì f 0. 19. Chứng minh nếu f g là các hàm khả tích trên a b thì 2 20. a Với n 1 2 3 chứng minh Inxdx Inn Inxdx. b Suy ra e n n n ưn n và đánh giá n n n O n . e J e e 21. Cho f 1 to R là hàm dương đơn điệu giảm. Gọi Sn 52 f k và In í. f x dx k i 71 a Chứng minh f k ỉ f x dx f k 1 k 2 3 Jk-1 b Chứng minh dãy Sn Ira neN giảm và có giới hạn thuộc 0 f 1 . c Áp dụng cho dãy 1 2 Inn. 22. Dùng định lý giá trị trung bình của tích phân chứng minh hàm f x x 52 ak cos kx bk sin .
