Ví dụ. Dựa vào các x i trên có thể biểu diễn thành chuỗi lũy thừa các hàm khác: chuỗ 2 a) Hàm erf (x) = e−t dt không là hàm sơ cấp. Để biểu diễn hàm này dưới dạng 0 chuỗi lũy thừa ta dựa vào biểu diễn của ex với x = −t2 | 8 vế phải tiến về 0 khi n TO nên ta có f x Tf x . Chuễi Taylor của một số hàm. Từ khai triển Taylor và bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ta có ex 1 x 2 x2 ------ -ỉy xn d 1 2 1 4 n -1 2n cosx 1 - 2x 4 x 2n_x sin x x - ix3 x5 -------- x2n 1 ----- 3 5 2n 1 1 x x xn --- x 1 x x 1 2 1 3 . . -1 n 1 ln 1 x x - 2x2 3x3 ---- - -----xan x 1 ữ ữ 1 2 a a 1 a n 1 . . 1 x a 1 ax -2 x -------- -------------Ị ------- xn -- x 1 Ví dụ. Dựa vào các chuỗi trên có thể biểu diễn thành chuỗi lũy thừa các hàm khác a Hàm erf x e ft dt không là hàm sơ cấp. Để biểu diễn hàm này dưới dạng . . . c . 2 chuỗi lũy thừa ta dựa vào biểu diễn của ec với x -12 e t2 1 - t2 t4 1 t2n e b 2 b n b Tích phân từng từ ta có f x - ị Ể J. 1 n . V J-l 1 x e R 3 2 5 n 2n 1 k 0 k 2k 1 b Hàm Si x í dt cũng không là hàm sơ cấp. Từ biểu diễn của hàm sin x Jo t ta có Si x c 1-Ịt2 Ịt4 1 n t62n dt V _ yfc _-x2n 1 x Jo 1 3 t 5 t 2n 1 d 2k 1 2k 1 x Ví dụ. Công thức sau cho tính xấp xỉ ln2 với tốc độ nhanh hơn công thức ở ví dụ mục . Từ biểu diễn ln 1 x suy ra n ln 1 - x x Ix2 Ix3 -- x I------ x 1 2 3 Lấy ln 1 x - ln 1 - x ta có ln P xẦ 2 x 1 x3 ------ 1-x 3 x2n 1 2n 1 x 1 Thay x ậ ta có 3 ln2 2 3 d 2n 1 32n 1 R Chuỗi lượng giác. 9 Trong đó sai số R ị_ 1 V 1 1 9 n O _L n 2k 1 32k 1 3 2n 3 n 9k 3 2n 1 1 - 1 9 9n 4. CHUỖI LƯỢNG GIÁC Có nhiều bài toán liên quan đến hàm tuần hoàn. Phần này ta xét đến việc biểu diễn hàm tuần hoàn dưới dạng chuỗi. Vì hàm sin và hàm cos là tuần hoàn nên biểu diễn qua chúng tự nhiên và thuận tiện hơn qua hàm lũy thừa. Một chuôi lượng giác là chuỗi hàm dạng 70 y ak cos kx bk sin kx 2 k i T . . chỉ cần xét hàm có chu kỳ 2n rồi sau đó đổi biến. Nhận xét. Khi hàm f có chu kỳ T hàm x f x có chu kỳ 2n. Như vậy ta Tính trực giao. Trên không gian các hàm liên tục trên n n ta định nghĩa tích vô hướng f g f x g x dx f g e C n n . .J n . . Khi đó hệ các hàm lượng giác 1 cos x sin x cos2x sin2x cos nx sin nx là hệ hàm trực giao theo nghĩa tích vô hướng của 2 hàm bất kỳ của hệ .
