Áp dụng định lý giá trị trung bình cho hàm 1 biến g(t) = f(x + th) và công thức đạo hàm hợp, chứng minh mệnh đề trên. Trường hợp ánh xạ, . khi m 1, không thể có dạng đẳng thức như định lý trên. Nói chung không thể tìm được giá trị trung bình để có được đẳng thức. Chẳng hạn, hàm f : R → R2, f(x) = (x2, x3). Khi đó phương trình sau là vô nghiệm | 48 Hàm khả vi liên tục. Cho f U Rm U c Rra mở. Ta nói f khả vi . . - df . _ . liên tục trên U hay f thuộc lớp C nếuu i 1 n liên tục trên U. dxi Nói cách khác ánh xạ Df U L Rra Rm là ánh xạ liên tục. Định lý phần gia. Trong lý thuyết hàm một biến ta có Định lý giá trị trung bình Lagrange .Cho g a b R liên tục. Giả sử g khả vỉ trên a b . Khi đó g b g a g c b a với c nào đó mà a c b. Trường hợp hàm nhiều biến . n 1 m 1 ta có thể mở rộng định lý trên Mệnh đề. Cho f U R U c Rh mở. Giả sử f khả vi trên U. Khi đó nếu đoạn x x h x th t G 0 1 c U thì f x h f x Df x ỡh h với 0 ỡ 1. Bài tập Áp dụng định lý giá trị trung bình cho hàm 1 biến g t f x th và công thức đạo hàm hợp chứng minh mệnh đề trên. Trường hợp ánh xạ . khi m 1 không thể có dạng đẳng thức như định lý trên. Nói chung không thể tìm được giá trị trung bình để có được đẳng thức. Chẳng hạn hàm f R R2 f x x2 x3 . Khi đó phương trình sau là vô nghiệm f 1 f 0 Df c 1 0 o 1 1 0 0 2c 2c2 Bài tập Cho f x y ex cos y ey sin y . Khi đó đẳng thức cho định lý giá trị trung bình không thể có. Tuy nhiên ta có dạng bất đẳng thức của định lý giá trị trung bình cho trường hợp tổng quát Định lý phần gia. Cho f U Rm là khả vi trên tập mở U c Rra. Nếu đoạn x x h c U thì Ilf x h f x H sup Df x th h . te 0 t Chứng minh Trước khi chứng minh cần nhắc lại là ở Chương I chuẩn của ánh xạ tuyến tính T được định nghĩa là TII sup llThH và ta có Th TIIHhn. IM 1 Để chứng minh định lý xét g t f x th . Khí đó g t Df x th h. Theo định lý cơ bản của giải tích hay công thức Newton-Liebniz ta có g 1 g 0 g t dt Ị Df x th hdt IV. 3 Đạo hàm cấp cao - Công thức Taylor. 49 trong đó Ị Ộ1 Ì ộm t dt Ị ội Ị ộm . Từ đó suy ra bất đẳng thức nêu trên. Ví dụ. Nếu f U - R khả vi U mở liên thông và Df x 0 ix G U thì f const . Nhận xét. Nếu f U R U c R là thuộc lớp C 1 và K là tập compact chứa trong U thì tồn tại L 0 sao cho f thoả điều kiện Lipschitz sau llf x - f y ll L x - y - x y G K- Đặc biệt nếu 0 L 1 và f K K thì f là ánh xạ co trên K. 3. ĐẠO HÀM
