heo định lý hàm ẩn, có thể giải u, v theo x, y ở lân cận x = 1, y = −1, u = 1, v = −1. Còn ở lân cận x = 0, y = 1, u = 0, v = 0 thì sao? ∂u tại x = 1, y = −1, và tại x = 0, y = 1 (nếu tồn tại). Tính ∂x b) Khi nào thì từ phương trình f (x, y) = x2 + y2 − 1 = 0, có thể giải y = g(x). Tính đạo hàm g dựa vào công thức vi. | 58 Theo định lý hàm ẩn có thể giải u v theo x y ồ lân cận x 1 y 1 u 1 v 1. Còn ở lân cận x 0 y 1 u 0 v 0 thì sao du d __ Tính tại x 1 y dx 1 và tại x 0 y 1 nếu tồn tại . b Khi nào thì từ phương trình f x y x2 y2 1 0 có thể giải y g x . Tính đạo hàm g dựa vào công thức vi phân cổ điển. Chú ý Rõ ràng là từ phương trinh F x y x3 y3 0 có thể giải duy nhất y x nhưng -7- 0 0 0 điều kiện trong định lý hàm ẩn chỉ là điều cần. dy ứng dụng. Xét đa thức bậc n phụ thuộc tham số u u0 un-ì Pu x xn un-1xn 1 u1x u0 Giả sử khi u a x0 là nghiệm đơn của Pa . Pa x0 0 P a x0 0. Khi đó theo định lý hàm ẩn tồn tại lân cận U của a và V của x0 sao cho với mọi u e U tồn tại duy nhất nghiệm x u G V của Pu x 0. Vậy các nghiệm đơn của đa thức về mặt địa phương là các hàm lớp C của tham số. Cụ thể xét phương trinh bậc 3 x3 px q 0 với p q là tham số. Khi xét số nghiệm và nghiệm đơn đa đến biệt thức A 4p3 27q2. Trên miền A 0 có 1 nghiện đơn x p q . Trên miền A 0 có 3 nghiện đơn x- p q x0 p q x p q . Trên nhánh A 0 q 0 có 1 nghiện đơn x- p q 0 và 1 nghiệm kép x0 p q . Trên nhánh A 0 q 0 có 1 nghiện kép x0- p q 0 và 1 nghiệm đơn x 0. Tại gốc p q 0 0 có 1 nghiệm bôi ba x 0. Hơn nữa x là hàm lớp C trên miền đầu x- x0 x là các hàm lớp C x trên miền thứ nhì. Nhận xét Định lý hàm ẩn và hàm ngược thuộc loại định lý tồn tại. Ta có thể dùng phương pháp ánh xạ co trong chứng minh để xây dựng dãy hàm hội tụ về hàm cần tìm. V. Tích phân Riemann 1. TÍCH PHÂN Xuất pháp từ bài toán trực quan về việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm dương trên một đoạn ta xây dựng khái niệm tích phân Riemann sau. Tích phân trên hình hộp. Một hình hộp trong R là tập con dạ ng A ữi bl X an b . Thê tích hình hộp A là giá trị v A b1 a1 bn an . Một phân hoạch P của hình hộp A là việc chia các đoạn ai bi i 1 n bởi các điểm ai ci0 Ci1 cimi bi5 rồi lập m1m2 mn hình hộp con cuả A S c1i1 c1i1 1 X X cnin c in 1 . Khi đó lạm dụng ký hiệu ta thường viết S G P. Bây giờ giả sử f A R là hàm giới nội P là một phân hoạch A.
