với g là hàm lớp C p ở một lân cận U của a . Vậy ϕ : U → Rn , ϕ(x ) = (x , g(x )) là một tham số hoá của M tại a. Ví dụ. Trong R3 . a) Mặt cầu S 2 cho bởi phương trình: F (x, y, z) = x2 + y2 + z 2 − 1 = 0. Dễ kiểm tra F (x, y, z) = (2x, 2y, 2z) = (0, 0, 0) trên S 2 . Vậy S 2 là đa tạp khả vi chiều (= mặt cong trơn). b) Đường tròn C cho bởi hệ phương trình sau | II. 1. Đa tạp khả vỉ trong R . 21 Giả sử rank DF1 DFm x m ix G M. Khi đó M là đa tạp khả vi n m chiều lớp Cp. Chứng minh Đặt k n m. Ký hiệu x x y e Rk X Rm R và F F1 Fm . Với mỗi a E M bằng phép hoán vị tọa độ có thể giả thiết định lý hàm ẩn ở lân cận V của a a b ta có det - a 0. Theo dy M n V xỉy e V F x py 0 x y e V y g x - với g là hàm lớp Cp ở một lân cận U của a . Nậy p U Rn p x x g x là một tham số hoá của M tại a. Ví dụ. Trong R3. a Mặt cầu S2 cho bởi phương trình F x y z x2 y2 z2 1 0. Dễ kiểm tra F x y z 2x 2y 2z 0 0 0 trên S2. Vậy S2 là đa tạp khả vi 2 chiều mặt cong trơn . b Đường tròn C cho bởi hệ phương trình sau là đa tạp 1 chiều í F1 x y z x2 y2 z2 1 0 F2 x y z x y z 0 Nhận xét. Nếu 0 W là tham số hoá khác của M tại x thì tồn tại các lân cận W U cảa 0-1 x F 1 x tương ứng sao cho trên W ta có 0 ip o h trong đó h -1 o 0 W U là vi phôi . song ánh và h-1 khả vi. Chứng minh Rõ ràng h p 1 o0 là song ánh từ 0 1 0 W n U lên p 1 0 W n p U . Ta cần chứng minh h thuộc lớp Cp. Do rank Dp k hoán vị tọa độ có thể giả thiết k dòng đầu của Dp u là độc lập tuyến tính khi u thuộc một lân cận U của điểm đang xét . trên U . d F1 - Vk 0 D U1 Uk Ký hiệu x x y G Rk X Rn k. Gọi i Rk Rk X Rn k là phép nhúng i u u 0 và p Rk X Rn-k Rk là phép chiếu p x y x . Đặt í u y p u y . TO giả thiết det Dí - rì k 0. Theo định lý D u1 uk hàm ngược tồn tại í-1 G Cp địa phương. Ta có h p-1 o 0 í o i -1 o 0 p o í-1 o 0. Các hàm thành phần là thuộc lớp Cp nên h thuộc lớp Cp. Không gian tiếp xúc. Cho M c Rn là đa tap khả vi k chiều và xo e M. Cho Y t e M là đường cong lớp C1 trên M Y 0 x0. Khí đó y 0 được gọi là vector tiếp xúc với M tại x0. Tập mọi vector tiếp xúc với M tai x0 được gọi là không gian tiếp xúc với M tại x0 và ký hiệu Txo M. Nếu p U ta một tham số hoá của M tai x0 p u0 thì Txo M v e Rn v t1D1p u0 ---- tk Dk p u0 t1 tk G R Im Dp u0 . II. 1. Đa tạp khả vỉ trong R . 22 Nếu M cho bởi hệ phương trình Fi Fm 0 tại lân cận x0 thì TxM v G R v grad Fi x0 i 1 m . Viết một cách .
