Ngoài ra dạng vi phân cũng là khái niệm thích hợp đểå tích phân trường vector trên đa tạp sẽ được đề cập đến ở chương sau. Chương này xét đến các dạng vi phân và các phép toán trên chúng. | III. Dạng vi phân Khi tính tích phân trên đa tạp ta cần một đối tượng bất biến với phép tham số hoá. Ví du đơn giản nhất là khi tính tích phân trên R theo công thức đổi biến ta có í f x dx í f p t ự t dt Ja Ja trong đó là vi phôi từ a 3 lên a b . Người ta đưa vào khái niệm dạng vi phân bậc 1 w f x dx và phép đổi biến ư f t ự t dt. Khi đó công thức trên có thể viết lại là ỉb fữ s J a Ja Ngoài ra dạng vi phân cũng là khái niệm thích hợp để tích phân trường vector trên đa tạp sẽ được đề cập đến ở chương sau. Chương này xét đến các dạng vi phân và các phép toán trên chúng. 1. DẠNG k-TUYEN TÍNH PHẢN Đối XỨNG. . Định nghĩa. Cho V là không gian vector trên R. Một dạng k-tuyến tính phản đối xứng trên V là một ánh xạ w V X X V R k lần thỏa các điều kiện sau với mọi vi vk E V a E R và 1 i j k Al w vi Vi v i Vk ư vi Vi Vk w vi v i Vk . A2 w vi avi Vk aw vi Vi Vk . A3 w vi Vi Vj Vk - w vi Vj Vi Vk . Nhận xét. Điều kiện A1 A2 có nghĩa là w tuyến tính theo từng biến Nhận xét. Điều kiện A3 tương đương với một trong các điều kiện sau A3 w vi Vi Vj Vk 0 nếu Vi Vj với mọi i j. A3 v i vơ k ơ vi Vk với mọi hoán vị ơ của 1 k e ơ là ký số sign ni j ơ j ơ j Chứng minh A3 A3 Trong biểu thức của A3 nếu vi Vj thì 2w vi Vi Vi Vk 0. Suy ra A3 . A3 A3 Trong biểu thức của A3 nếu Vi Vj V w thì từ Al A3 suy ra w vi V w Vk w vi w v Vk 0. A3 A3 Áp dụng mọi phép hoán vị là hợp của các phép chuyển vị ký số mỗi phép chuyển vị là 1 và ký số của hợp 2 hoán vị bằng tích ký số của 2 hoán vị đó. . Dạng k-tuyến tính phản đối xứng. 32 A3 A3 Áp dụng A3 với ơ là chuyển vị i và j. Ví dụ. Cho F là một vector trong R3. Khi đó a WF v F v v G R3 là dạng 1-tuyến tính trên R3 công của F dọc theo v b UF v1 v2 F v1 X v2 v1 v2 G R3 là dạng 2-tuyến tính phản đối xứng trên R3 thông lượng của F qua hình bình hành tạo bởi v1 v2 c Định thức là dạng n-tuyến tính phản đối xứng trên Rn. Giá trị det v1 vn là thể tích có hướng của bình hành tạo bởi v1 vn E Rn. Không gian vector Ak V . Ký hiệu Ak V là tập mọi dạng .
