Công thức Stokes cho tích phân loại 1 . Cho F là một trường vector khả vi trong N , có bờ ∂S = C là đường cong định hướng cảm sinh bởi trường vector tiếp xúc đơn vị T sao cho miền S nằm phía trái | IV. 3 Công thưc Stokes 51 Khi đó biểu đồ sau giao hoán C U g d ị id Q U d X U r4 X U d4 C U ị hi ị h2 ị h3 Q1 U d Q2 U d Q3 U nghĩa là ta có hi o grad d o id h2 o rot d o h1 h3 o div d o h2. Chứng minh Xem như bài tập Hệ qua. Từ d o d 0 suy ra rot o grad 0 div o rot 0. Công thức Stokes cho tích phân loại 1. Cho F là một trường vector khả vỉ trong R3. 1 Giả sử S là mặt cong compact trong R3 định hướng bởi trường vector pháp đơn vị N có bờ dS C là đường cong định hướng cảm sinh bởi trường vector tiếp xúc đơn vị T sao cho miền S nằm phía trái. Khi đó Ị F T dl Ị rot F N dS. 2 Giả sử V là miền giới nội trong R3 có bờ dV S là mặt cong định hướng bởi trường vector pháp đơn vị N hướng ra phía ngoài. Khi đó ị F N dS ị div FdV. Chứng minh Suy từ công thức Stokes và mối quan hệ giữa tích phân loại 1 và loại 2. 53 Bài tập giải tích 3 1 Bài tập tich phân phụ thuộc tham số 1. Tính các giới hạn 1 lim f x- tdx 2 lim 7 dx 3 lim x t4o_J1 t4o t 1 x2 t2 nT. 0 1 1 x n n 4 lim f Jn x 7 5 lim f Xe_x2 t2dx 6 lim f e_tsin xdx. 7 t4o t ln x2 t2 7t-4o0 t2 t-ỉ 0 2. Khảo sát tính liên tục của hàm I t và dương trên đoạn 0 1 . 1 tf x 0 x2 t2 trong đó hàm f x liên tục 3. 1 Tìm đạo hàm của các tích phân eliptic n 2 E t Ị ỵ 1 t2 sin2 xdx o F t n 2 dx Ị dx. 1 t2 sin2 x n v 2 Hãy biểu diễn E F qua các hàm E F. 3 Chứng minh rằnh E thỏa phương trình vi phân E t ỈE t p-c E t 0. 4. Giả sử hàm f x y có các đạo hàm riêng liên tục. Tính If t nêu t t2 x t 1 I t Ị f x t x t dx 2 I t Ị Ị sin x2 y2 t2 dy dx. 0 0 x-t 5. Chứng minh rằng hàm Bessel với các chỉ số nguyên n In o cos nx t sin x dx
