KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 (Đợt 2) Môn thi: GIẢI TÍCH (Dành cho cao học) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a. Cho dãy số thực . Chứng minh rằng nếu chuỗi hội tụ tại thì nó sẽ hội tụ tại mọi b. Cho chuỗi hàm . Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối và đều của chuỗi hàm . Tính tổng của chuỗi hàm . Câu 2. Cho là một không gian mêtric. Trên ta định nghĩa a. Chứng minh rằng là một mêtric trên . b. Chứng minh rằng là một không gian mêtric. | BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ Họ và tên thí sinh . Số báo danh . KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 Đợt 2 Môn thi GiẢi TíCh Dành cho cao học Thời gian làm bài 180 phút Câu 1. a. Cho dãy số thực an n. Chứng minh rằng nếu chuỗi 00 Ũ n l hội tụ tại X X0 thì nó sẽ hội tụ tại mọi X X0. b. Cho chuỗi hàm 2n 1 _ v2 1 1 1 1 1 X n l Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối và đều của chuỗi hàm 1 . Tính tổng của chuỗi hàm 1 . Câu 2. Cho X d là một không gian mêtric. Trên X ta định nghĩa a. Chứng minh rằng d 1 là một mêtric trên X. b. Chứng minh rằng X d là một không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi X d i cũng là một không gian mêtric đầy đủ. Câu 3. Cho X Y là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường cơ sở và A X Y là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn điều kiện với mỗi dãy xn n c X hội tụ về 0 thì dãy a xn n bị chặn. Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục. Câu 4. Xét không gian Hilbert phức ỉ 2 gồm tất cả các dãy số phức X xn n sao cho z n 1 I Xn I 2 00 với tích vô hướng X y z ìXnỹ . Giả sử an n là một dãy số phức bị chặn. Cho A ỉ2 ỉ2 xác định bởi Ax anx n lx xn n E T2. a. Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục. Tính chuẩn của A. b. Chứng minh rằng nếu an n là dãy số thực thì A là một toán tử tự k Ghi chú Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 2 NĂM 2009 Câu 1. 4đ a. Ta có a. 00 00 1 1 ỴLXO Ỵ x x0 n l n l Nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Abel tại mọi X X0. Ta có un x un - nên ta chỉ cần xét chuỗi trong 1 1 . Với bất kỳ a e 0 1 ta có I Un x I -737 1 n 1 7- Vx e a a . 1- Z l-az 1 a Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối tại mọi X 3 1 và hội tụ đều trên các khoảng a a 00 - a_ 1 - 00 . _a Do un x 00 khi X 1 nên chuỗi không hội tụ đều trên khoảng 1 1 b. Chú ý 1 1 1 2 1 X 1 X2 Do đó x2Ìl Ý 1 1 X 1 1 2-jT x2k 1 2-Al-X2k l-X2k 1J l-x l-x2k 1 k l k l Vậy X Câu 2. 2đ a. 1đ Kiểm tra 2 tiên đề đầu tiên về mêtric 0 5đ Tiên đề còn lại chứng minh dựa vào hàm t ĩ3 đơn điệu tăng trên 0 00 . 0 5 đ b. 1đ cơ bản trong cơ bản trong 0 5đ cơ bản trong cơ bản
