Tham khảo tài liệu 'bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi đh - phần 5', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Nguyễn Phú Khánh -Nguyễn Tất Thu x 1. 5 y 4x - 2x 2 ựy2 - 2y 2 QV-1 x-1 1 1 x y e R Đặt u x - 1 v y - 1 I viết lại u V u2 1 3v v 7 v2 1 3u II Xét hàm số f x x 4x2 1 và g x 3x liên tục Vx e R ta có x y x2 1 x x x . _ f x 1 I -------1 I - 0 Vx G K f x đồng biến Vx e R. yx2 1 Ịx2 1 y x2 1 g x 3x đồng biến Vx e R. u 4 u2 1 3v v 4 v2 1 3u 5 f u f v g u g v Nếu u u f u f v g v g u v u vô lý . Tương tự nếu v u cũng dẫn đến vô lý Do đó hệ II u 1 3u 7 u2 1 - u 1 u 5 u v u v Đặt g u 3u Vu2 1 - u liên tục Vu e R . Ta có g u 3u ln3 Vũ2 u u -1 V 1 u2 1 - u g 0 Vu G R Do đó g u đồng biến Vu e R và g o 1 u 0 là nghiệm duy nhất của 1 - Nên Ill u v 0 . Vậy I x y 1 1 4 2x-y g1-2x y 1 22x-y 1 y3 4x 1 ln y2 2x 0 1 2 Đặt t 2x - y . Khi đó phương trình 1 trở thành 5 1 2. 5 Nguyễn Phú Khánh -Nguyễn Tất Thu t t 4 1 5 Dễ thấy f t 5 là hàm nghịch biến và g t 1 là hàm đồng biến và f 1 g 1 5 t 1 là một nghiệm của . Ta cần chứng minh t 1 là nghiệm duy nhất của phương trình f t g t Thật vậy t 1 f t g t t 1 không là nghiệm phương trình . t 1 f t g t t 1 không là nghiệm phương trình . Vậy có nghiệm duy nhất t 1. t 1 2x - y 1 2x y 1 khi đó 2 y3 2y 3 ln y2 y 1 0 j Xét hàm số f y y3 2y 3 ln y2 y 1 . Ta có f y 3y2 2 2y 1 3y2 2y2 4y 3 0 2 . 2 -i y y 1 y y 1 f y là hàm đồng biến và f -1 0 nên có nghiệm duy nhất y -1 x 0 Vậy nghiệm của hệ là j . y -1 f t et g t J 2t liên tục trên khoảng 1 rc ta có et 0 vt 1 f t đồng biến trên khoảng 1 rc g t . 1 0 vt 1 g t nghịch biến trên khoảng 1 j. y ex 2009 - Hệ phương trình ey 2009 - x I vx l i Nếu x y f x f y Tương tự y x cũng vô lý . Nguyễn Phú Khánh -Nguyễn Tất Thu ex 2009 - Khi đó ey 2009 - y 1 lx2 - 1 _ . ex x y - 2009 0 2 Xét hàm số h x ex x - 2009 liên tục trên khoảng 1 ta có ylx-1 h x ex - 1 h x ex 3 . 1 .2x 0 2 2 ự v x - 1 v x - 1 và lim h x O lim h x x - V x -v Vậy h x liên tục và có đồ thị là đường cong lõm trên 1 . Do đó để chứng minh 2 có 2 nghiệm lớn hơn 1 ta chỉ cần chứng minh tồn tại x0 1 mà h i 0- Chọn x 2 h 2 e2 P - 2009 0 h x 0 có đúng
