Tài liệu tham khảo được trích từ các trang web chuyên ôn luyện Đại học cho các bạn học sinh phổ thông có tư liệu ôn thi hóa tốt vào các trường Cao đẳng, Đại học | Chương I ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I. Tính chất cơ bản ax bx khi x 0 a. a b ax bx khi x 0 b. a b x y Chú ý b y a x b y a - b x - y ab xy ax by a x 0 c. V ab xy b y 0 d. a b 0 a2 b2 Hệ quả a b a2 b2 o An 1 1 e. a b 0 a b I 1 a b 0 ab f A 0 x A -A x A . . f x - A x A 1 1 x A II. Vài bất đẳng thức thông dụng Với a b c . tùy ý a b c. eR a. a2 b2 2ab Dâu xảy ra a b b. a2 b2 c2 ab bc ca Dâu xảy ra a b c -T T r- 7 n _r z 1 1 V 7 . 1 1 4 c. Với a b 0 ta có a b I y- I 4 y I a b I aba b -Ạ -A. I Ạ. I k A III. Các ví dụ n n I -11 1 1 .1 - 4 4 J Chứng minh bât đăng thức tan x - tan y 1 - tan x tan y 1 Giải x y ei-4 41thì -1 tanx tany 1 0 tan2 x tan2y 1 Ta có tan x - tan y 1 - tan x tan y 1 1 tan2 x tan2 y-2tanxtany 1 -2tanxtany tan2 xtan2 y tan2 x tan2 y - tan2 x tan2 y -1 0 tan2 x 1 - tan2 y - 1 - tan2 y 0 1 - tan2 y tan2 x -1 0 Luôn đúng Vx y G Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi số thực a b c thỏa mãn điêu kiện a b c 1 thì 111 a b c T gg gg gg I 3a 3b 3c I 3a 3b 3c Giải Vì hàm số 1 giảm nên ta có 1 1 a b a b 0 a - b I T I T X3a 3b 3b 3a 3a 3b Tương tự ta có b c b c c a c a Gg gG Gg gG Gg gG gg GG 3c 3b 3b 3c 3 3c 3c 3a Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên chú ý rằng a b c 1 ta được 111 c a b c Ẩ a b c g gg gT I g gg gG I 21 I 3a 3b 3c I3a 3b 3 I3a 3b 3c 111 X a b c __. gg gg gg 3I -X X X I đpcm 3a 3b 3c I 3a 3b 3c Ví dụ 3 a. Cho x 0 y 0 và xy 1. Chứng minh 2 _L_ -L 1 1 Jxy 1 x 1 y b. Cho 0 a b c d và bd 1. Chứng minh 4 1 1 11 . . . . 1 V abcd 1 a 1 b 1 c 1 d Giải a. Vì x 0 y 0 nên bất đẳng thức 1 tương đương với 2 1 x 1 y 1 y xỹ 1 y 1 Jxỹ 1 x 2 2x 2y 2xy 1 y xỹ y xỹ 1 y xỹ x xyỊxỹ x y 2xy yfxy x y 2yfxy x y - Jxy x y 2 xy-Jxy 0 x y 1 -Jxy 2yfxy Jxy-1 0 1 Jxy x y - 2jxy 0 2 1 -Jxy Vx -y ỹ 2 0 2 yfx-ỵ ỹ 2 0 z_ zi Vì t 2_ nên 2 đúng đpcm a b c d 0 b. ta b c d nên bd 1 a b c d 0 a b ac db 1 L bd 1 Theo kết quả câu a tacó í _ ---- -- -J a c 0 ac 1 1 a 1 c 1 4ãẽ t 2 b d 0 bd 1 1 c 1 d 1 ạ bd . . 1 1 1 a 1 b 1 c 1 d ỵ 1 - J ac 1 bd 2 Ị
