Tối ưu hóa phần 9

Định lý 18. Cho một tập lồi khác rỗng S ⊂ Rn và f: S → R là hàm lồi. Lúc đó, ∀ x ∈ S và hướng bất kỳ d ∈ R n sao cho x + λd ∈ S với λ 0 đủ nhỏ, luôn tồn tại đạo hàm theo hướng: f (x + λd) − f (x) . f/( x ,d) = lim λ→0+ λ Chứng minh Chọn λ2 λ1 0 và đủ nhỏ. Do f là hàm lồi nên ta có: ⎡λ ⎛ ⎛ λ ⎞ ⎤ λ λ ⎞ f ( x + λ1d. | Định lý 18. Cho một tập lồi khác rỗng S c Rn và f S R là hàm lồi. Lúc đó V x e S và hướng bất kỳ d e Rn sao cho x Xd e S với X 0 đủ nhỏ luôn tồn tại đạo hàm theo hướng f x d limf x Xd -f x . X o X Chứng minh Chọn X2 X1 0 và đủ nhỏ. Do f là hàm lồi nên ta có f x X1d f k x X2d l X 2 V ỈLf x X2d 1 --M f x . X 2 V X 2 J Từ đây suy ra f x X d - f x f x X22d - f x . Như vậy hàm số X1 X2 f x Xd - f x X phụ thuộc X 0 là hàm không giảm. Bởi vậy ta có giới hạn f x Xd -f x . f x Xd -f x _ _ li m ------_2 2 inf -----------ự đpcm . xLò X X 0 X . Dưới vi phân của hàm lồi Định nghĩa 9. Cho f S R là hàm lồi. Lúc đó Epigraph của f là tập hợp Epi f x y x e S y f x c Rn 1. Hypograph của f là tập hợp Hyp f x y x e S y f x c Rn 1. Xem minh họa hình . Hình . Minh họa Epigraph và Hypograph Có thể chứng minh được tính chất sau đây Cho f S R là hàm lồi lúc đó Epi f là tập lồi và ngược lại. Định nghĩa 10 khái niệm dưới vi phân . Xét tập lồi khác rỗng S c Rn và f S R là hàm lồi. Lúc đó véc tơ ệ e Rn được gọi là dưới vi phân của f tại x nếu f x f x ệT x - x Vx e S. Ví dụ 4. i Xét hàm y f x x2. Lúc đó véc tơ ệ 2 x e R1 chính là dưới vi phân của hàm đã cho tại x trên hình ệT tga . 153 ii Xét hàm y f x I x I. V x 0 véc tơ ệ sign x e R1 chính là dưới vi phân duy nhất của hàm đã cho tại x trên hình ệT tgn 1 tại x 0 . Còn tại x 0 tồn tại vô số dưới vi phân S e -1 1 c R1. Định lý 19 về sự tồn tại dưới vi phân . Cho f S R là hàm lồi. Lúc đó với V x e int S luôn tồn tại véc tơ S sao cho siêu phẳng H x y y f x T x -x là siêu phẳng tựa của Epi f tại x f x tức là f x f x ệT x - x Vx e S. Do đó ệ chính là dưới vi phân tại x. Chứng minh Ta đã biết Epi f là tập lồi và x f x eổ Epi f biên của Epi f. Ngoài ra theo định lý 7 về siêu phang tựa của tập lồi tại điểm biên lúc đó tồn tại véc tơ p ệ0 p 0 sao cho V x y e Epi f luôn có x - x pT y - f x 0 . Rõ ràng p không thể dương được vì nếu trái lại chọn y dương đủ lớn thì suy ra là sai. Ta đi chứng minh p 0 bằng phương pháp phản .

Không thể tạo bản xem trước, hãy bấm tải xuống
TÀI LIỆU LIÊN QUAN
TỪ KHÓA LIÊN QUAN
TÀI LIỆU MỚI ĐĂNG
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.