Định lý 18. Cho một tập lồi khác rỗng S ⊂ Rn và f: S → R là hàm lồi. Lúc đó, ∀ x ∈ S và hướng bất kỳ d ∈ R n sao cho x + λd ∈ S với λ 0 đủ nhỏ, luôn tồn tại đạo hàm theo hướng: f (x + λd) − f (x) . f/( x ,d) = lim λ→0+ λ Chứng minh Chọn λ2 λ1 0 và đủ nhỏ. Do f là hàm lồi nên ta có: ⎡λ ⎛ ⎛ λ ⎞ ⎤ λ λ ⎞ f ( x + λ1d. | Định lý 18. Cho một tập lồi khác rỗng S c Rn và f S R là hàm lồi. Lúc đó V x e S và hướng bất kỳ d e Rn sao cho x Xd e S với X 0 đủ nhỏ luôn tồn tại đạo hàm theo hướng f x d limf x Xd -f x . X o X Chứng minh Chọn X2 X1 0 và đủ nhỏ. Do f là hàm lồi nên ta có f x X1d f k x X2d l X 2 V ỈLf x X2d 1 --M f x . X 2 V X 2 J Từ đây suy ra f x X d - f x f x X22d - f x . Như vậy hàm số X1 X2 f x Xd - f x X phụ thuộc X 0 là hàm không giảm. Bởi vậy ta có giới hạn f x Xd -f x . f x Xd -f x _ _ li m ------_2 2 inf -----------ự đpcm . xLò X X 0 X . Dưới vi phân của hàm lồi Định nghĩa 9. Cho f S R là hàm lồi. Lúc đó Epigraph của f là tập hợp Epi f x y x e S y f x c Rn 1. Hypograph của f là tập hợp Hyp f x y x e S y f x c Rn 1. Xem minh họa hình . Hình . Minh họa Epigraph và Hypograph Có thể chứng minh được tính chất sau đây Cho f S R là hàm lồi lúc đó Epi f là tập lồi và ngược lại. Định nghĩa 10 khái niệm dưới vi phân . Xét tập lồi khác rỗng S c Rn và f S R là hàm lồi. Lúc đó véc tơ ệ e Rn được gọi là dưới vi phân của f tại x nếu f x f x ệT x - x Vx e S. Ví dụ 4. i Xét hàm y f x x2. Lúc đó véc tơ ệ 2 x e R1 chính là dưới vi phân của hàm đã cho tại x trên hình ệT tga . 153 ii Xét hàm y f x I x I. V x 0 véc tơ ệ sign x e R1 chính là dưới vi phân duy nhất của hàm đã cho tại x trên hình ệT tgn 1 tại x 0 . Còn tại x 0 tồn tại vô số dưới vi phân S e -1 1 c R1. Định lý 19 về sự tồn tại dưới vi phân . Cho f S R là hàm lồi. Lúc đó với V x e int S luôn tồn tại véc tơ S sao cho siêu phẳng H x y y f x T x -x là siêu phẳng tựa của Epi f tại x f x tức là f x f x ệT x - x Vx e S. Do đó ệ chính là dưới vi phân tại x. Chứng minh Ta đã biết Epi f là tập lồi và x f x eổ Epi f biên của Epi f. Ngoài ra theo định lý 7 về siêu phang tựa của tập lồi tại điểm biên lúc đó tồn tại véc tơ p ệ0 p 0 sao cho V x y e Epi f luôn có x - x pT y - f x 0 . Rõ ràng p không thể dương được vì nếu trái lại chọn y dương đủ lớn thì suy ra là sai. Ta đi chứng minh p 0 bằng phương pháp phản .
