Toán rời rạc là một lĩnh vực của toán học nghiên cứu các đối tượng rời rạc. Chúng ta sẽ sử dụng công cụ của toán rời rạc khi phải đếm các đối tượng, khi nghiên cứu quan sát giữa các tập rời rạc, khi phân tích các quá trình hữu hạn. Một trong những nguyên nhân chủ yếu làm nâng tầm quan trọng của toán rời rạc là việc cất giữ và xử lý thông tin trên máy tính bản chất là quá trình rời rạc. . | Nếu theo cách 1 thì số cách tới E là theo cách 2 thì số cách tới E là ữ2fc_2. Gọi Cn 9n lần lượt là số cách để con ếch xuất phát tưương ứng từ c G nhảy vào đỉnh E vơí n cú nhảy. Vì lý do đối xứng ta có Cn gn. Vậy nếu theo cách 3 thì số cách tới E là c2fc_2 nếu theo cách 4 thì số cách tới E là g2k-2 Theo quy tắc cộng ta có O2fc a k-2 o2fc-2 c2fc_2 4- g2k-2 2a 2k-2 2c2fc_2 5 Xuất phát từ c vởi hai bước nhẩy đầu tiên con ếch có thể có các cách sau lc c B - A 2c C B- C 3c c Dc 4c c DE Nếu theo cách lc thì số cách tới E là theo cách 2c thì số cách tới E là theo cách 3c thì số cách tới E là theo cách 4c thì số cách tới E là 0. Theo quy tắc cộng ta có C2k 0 2k-2 2c2fc_2 6 Từ 5 và 6 rút ra C2k a2fc - ữ2fc-2 c2fc_2 a2fc_2 - a2fc-4. Thay vào 5 ta được O2fc 4o2fc_2 2a2fc-4 Đặt Uk o2fc ta có Uk 4ufc-i 2uk-2 U1 o2 0 U2 04 2. Bằng cách giải phương trình đặc trưng ta đi đến công thức sau _ 2 x 2 -1 - 2 - Vĩy-1 0 -- U k - r k - 1 2 . V Lt Ví dụ 11 Cho số nguyên dương n và s 1 2 Tìm số các tập con kể cả tập rỗng của s mà không chứa hai số nguyên dương liên tiếp. Giải Gọi an là số phải tìm. Dễ thấy 01 2 a2 3 03 5. Chẳng hạn với n 3 có 5 tập con thoả là 0 1 2 3 1 3 . Gọi An là họ các tập con có tính chất đã nêu. Mỗi tập A e An 2 gồm hai loại Loại 1 gồm các tập chứa n 2 gồm các tập không chứa n 4- 2. Nếu A là tập loại 1 thì A không chứa n 1. Do đó nếu bỏ đi khỏi A phần tử n 4- 2 ta được một tập con của An- Ngược lại với mỗi tập con B của An thì tập A B u n 2 là tập loại 1 của An 2- Thành thử số tập loại 1 là an- Mõi tập loại 2 rõ ràng là một tập con của An 1 và ngược lại. Thành thử số tập loại 2 là On 1. Do đó ta có quan hệ sau On 2 On- -1 4 on Mặt khác với dãy Fibonacy ta có Fn 2 Fn 1 4- En- Vì Oi F3 2 a2 F4 3 03 F5 5 ta suy ra an Fn 2- Vậy On Fn-ị-2 an 2 _ bn 2 75 ở đó a 2 o Ví dụ 12 Cho số nguyên dương n và s 1 2 . n . Gọi Cn là số các tập con của s mà chứa đúng hai số nguyên dương liên tiếp . Chứng minh rằng _ 2nFn 1 - n 4- l Fn .
