Chương 4 Luật số lớn và các định lý giới hạn Hội tụ theo xác suất và phân phối Định nghĩa (Hội tụ theo xác suất). Cho dãy biến ngẫu nhiên {Xn } và biến ngẫu nhiên X. Ta nói {Xn } hội tụ theo xác suất đến X, ký hiệu Xn − X, nếu với mọi ε 0 thì → n→+∞ P P lim P (|Xn − X| | Chương 4 Luật số lớn và các định lý giới hạn Hội tụ theo xác suất và phân phối Định nghĩa Hội tụ theo xác suất . Cho dãy biến ngẫu nhiên Xn và biến ngẫu nhiên X. Ta nói Xn hội tụ theo xác suất đến X ký hiệu Xn Ạ X nếu với mọi e 0 thì lim P Xn - X e 1 n Nếu Xn Ạ X thì với n lớn chúng ta có Xn w X với xác suất gần 1. Thông thường Xn hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X là hằng số Xn Ạ ỡ ỡ là hằng số nghĩa là khi n lớn thì hầu như biến ngẫu nhiên Xn không có sự thay đổi. Định nghĩa Hội tụ theo phân phối . Định nghĩa hội tụ theo phân phối Cho dãy biến ngẫu nhiên Xn và biến ngẫu nhiên X. Ta nói Xn hội tụ theo phân phối đến X ký hiệu F Xn Ạ X nếu lim P Xn x P X x F x n tại mọi điểm liên tục của hàm phân phối F x Nếu Xn Ạ X thì với n đủ lớn chúng ta có thể xấp xỉ phân phối của Xn bởi phân phối của X. Vậy hội tụ theo phân phối rất tiện lợi cho việc xấp xỉ phân phối của biến ngẫu nhiên Xn. Định nghĩa Hội tụ hầu chắc chắn . Cho dãy biến ngẫu nhiên Xn và biến ngẫu nhiên X. Ta nói Xn hội tụ hầu chắc chắn đến X ký hiệu Xn Ạ X nếu Xn Ạ X với xác suất là không. Bất đẳng thức Markov Chebyshev 53 Bất đẳng thức Markov Chebyshev Bất đẳng thức Markov Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị không âm thì với mọi hằng số dương ta có P X E X Chứng minh. X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ f x thì E X Ị xf x dx Ị xf x dx Ị xf x dx 0 0 Ị xf x dx Ị f x dx P X ố Nhân hai vế của bất phương trình với 1 ố thì ta đươc kết quả. Bất đẳng thức Chebyshev Nếu X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng là rì và phương sai ơ2 hữu hạn thì với mọi hằng số dương bé tùy ý ta có X . Var X P X rì 2 2 hay tương đương P X rì X 2 Chứng minh. Ta thấy X rì2 là biến ngẫu nhiên không âm và 0. Sử dụng bất đẳng thức Markov với 2 ta được P X m 2 21 E X M 2 Vì X rì 2 2 khi và chỉ khi X rì nên Var X P X rì 2 7 2 Bất đẳng thức Markov và Chebyshev cho ta phương tiện thấy được giới hạn xác suất khi biết kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên chưa biết phân phối xác suất. Ví dụ . Giả sử số .
