Giải tích cơ sở - Chuyên ngành: Giải tích, PPDH Toán - Phần 1: Không gian Metric - Bài 3: Ánh xạ liên tục | GIẢI TÍCH CƠ SỞ Chuyên ngành Giải Tích PPDH Toán Phần 1. Không gian metric 3. Ánh xạ liên tục Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 20 tháng 12 năm 2004 Tóm tắt lý thuyết 1 Định nghĩa Cho các không gian metric X d Y p và ánh xạ f X Y Ta nói ánh xạ f liên tục tại điểm x0 E X nếu Ve 0 3h 0 Vx G X d x x0 s p f x f x0 e Ta nói f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x E X 2 Các tính chất Cho các không gian metric X d Y p và ánh xạ f X Y. Định lí 1. Các mệnh đề sau tương đương 1. f liên tục tại x0 G X 2. V xra c X limxn xo lim f xra f xo 1 Hệ quả. Nếu ánh xạ f X Y liên tục tại x0 và ánh xạ g Y Z liên tục tại y0 f x0 thì ánh xạ hợp g o f X Z liên tục tại x0. Định lí 2. Các mệnh đề sau tương đương 1. f liên tục trên X 2. Với mọi tập mở G c Y thì tập nghịch ảnh f-1 G là tập mở trong X. 3. Với mọi tập đóng F c Y thì tập f-1 F là tập mở trong X. 3 Ánh xạ mở ánh xạ đóng ánh xạ đồng phôi Cho các không gian metric X Y và ánh xạ f X Y. Ánh xạ f gọi là ánh xạ mở đóng nếu với mọi tập mở đóng A c X thì ảnh f A là tập mở đóng . Ánh xạ f gọi là ánh xạ đồng phôi nếu f là song ánh liên tục và ánh xạ ngược f-1 Y X liên tục. 4 Một số các hệ thức về ảnh và ảnh ngược Cho các tập X Y khác trống và ánh xạ f X Y. Với các tập A Aị c X và B Bị c Y ta có 1. f U Ai u f Ai f A Ai c n f Ai iei iei iei iei 2. f-1 UBi uf-1 Bi f-1CBi uf-1 Bi iei iei iei iei f-1 B1 B2 fB fB 3. f f-1 B c B nếu f là toàn ánh f-1 f A D A nếu f là đơn ánh Bài tập Bài 1. Trong không gian C a b ta xét metric d x y sup x t y t và trong R ta xét a t b metric thông thường. Chứng minh các ánh xạ sau đây liên tục từ C a b vào R. 2 1. fi x aff b x t b 2. f2 x f x2 t dt a Giải. 1. Ta sẽ chứng minh fi x fi y d x y Thật vậy fi x x t y t x t y t y t d x y Vt G a b fi x d x y y t Vt G a b fi x d x y fi y hay fi x fi y d x y Tương tự ta có fi y fi x d x y nên đúng. Từ đây ta thấy V xra lim xn x lim fi xra fi x n œ n œ 2. Xét tùy ý x G C a b xn c C a b mà limxn x ta cần chứng minh limf2 xn f2 x Ta có xn t x2 t xn t x t . xn
