Tài liệu tham khảo - Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng | Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng 1. NGUYÊN HÀM Định nghĩa Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của f x trên K nếu F x f x x eK Khi đó ta viết í f x dx F x C C e K. Tính chất của nguyên hàm 1. í f x dx f x C 2. í kf x dx kí f x dx k là hằng số khác 0 3. í f x g x dx í f x dx í g x dx Bảng nguyên hàm của một số hàm sơ cấp và hàm số hợp Nguyên hàm của hàm số hợp Nguyên hàm của hàm sơ cấp với u u x í 0dx C í dx x C f . xa 1 í xadx C a 0 J a 1 J dx ln x C í exdx ex C .X í axdx C a 1 a 0 ln a í cos xdx sin x C í sin xdx - cos x C í 2 dx tan x C cos2 x í 2 dx - cot x C sin2 x í ỉ -dx ln ax b C J ax b a í 1 dx arctan x C J x2 1 í Ị dx arcsin x C M - x2 í 0du C í du u C í uadx C a 0 J a 1 í du ln u C u í eudu eu C í audu -O- C a 1 a 0 ln a í cos udu sin u C í sin udu - cos u C í 2 du tan u C J cos2 u í du - cot u C J sin2 u í ỉ- -du ln au b J au b a í f x dx F x C í f ax b dx F ax b C toan30ctu 1 Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng Phương pháp tính nguyên hàm a Phương pháp đổi biến số Nếu ò f u du F u C và u u x là hàm có đạo hàm liên tục thì ò f u x u x dx F u x C Hệ quả nếu u ax b a 0 thì ta có f ax b dx F ax b C a b Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u u x và v v x có đạo hàm liên tục trên K thì I u x v x dx u x v x I v x u x dx udv uv vdu Hay ngắn gọn dễ nhớ hơn Chú ý Phương pháp nguyên hàm từng phần thường được áp dụng cho những nguyên hàm có dạng sau ò P x ln xdx Trong đó P x là một đa thức và a b là những hằng số khác 0. òP x e dx ò P x sin axdx òP x cos axdx ò ea cos bxdx ò ea sin bxdx rồi tìm cách tính. Ak . x - a k akx b b Một vài cách tính nguyên hàm khác thường gặp HÀM HỮU TỈ í x dx trong đó P x Q x là những đa thức theo biến x J Q x Nếu bậc của P x Q x thì phân tích x R x x - Q x Q x Nếu bậc của P x Q x Nếu Q x x - a k k e N k 1 thì x 7 x - a k Nếu Q x x2 px q k k e N k 1 x - ọ 2 Q x x2 px q ĐỔI BIẾN CHO HÀM LƯƠNG GIÁC Khi cần ta có thể đặt t tan x Khi đó ta có .