Tài liệu tham khảo Bài tập Toán cho Vật Lý (Ôn thi Cao Học) giúp các bạn ôn tập tốt môn lý | Bài tập Toán cho Vật Lý Ôn thi Cao Học Bài 1 Xác định dao động tự do của dây hữu hạn gắn chặt tại các mút x 0 và x I biết độ lệch ban đầu được cho bởi u x 0 0 x l cBn vẼn tèc ban Qu b ng 0. gm . Gọi u x t là độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t. Ta có phưong trình dao động của dây du a2 du dt2 dx2 Theo bài ra ta có iÒu kiOn ban Qu L t 0 4x l - x 0 1 2 và điều kiện biên u 0 u 0 Ix 0 Ix 1 3 Theo lý thuyết ta có nghiệm riêng của phưong trình 1 thoả mãn điều kiện biên _11 . krnat Ệ _ . krnaL . knx 3 cã d1ng u x t 2uk X t 2 ak cosZy bk sin Ta bnh ak bk sao cho u x t tho m- n iÒu kiOn ban Qu 2 Thay 4 vào 2 ui It 0 o 2 ak k 1 knx sin- l 4x l - x 12 du dt t 0 k a . knx 2 bk sin - 0 Ố k 1 1 4 5 6 4x 1ọ x thành chuỗi Fourier theo l2 Gi i 5 NhẼn thÊy ak là hệ số trong khai triển hàm sin trong khoảng 0 I . Nh n 2 võ cna 5 víi sin - râi lÊy tÝch ph n 2 võ tõ 0 I ta cã jak sin2 dx JÍ2-2ind dx 7 0 1 0 1 1 1 krnc VT ak sin2 dx J coj 0 x --ị- sin k x l 1 i k 1 2 2 2 k 1- 1 n k 2 0 0 L -1 0 VT at 1 8 VP l - x k-xdjc .J0 l 0 l J Ta cã I r . k-x l k-x II I x. sin ỹ dx - - . 1 J0 l k- l l2 . k-x sin f k - l l2 - cos k-k Nan VP VP I2 dx 0 k-x k-x _4 _4 l 2 __ .x . cos k- r 2l -- cos k- 3 3 cosk-k- k - l3 2l3 - cosk-k- 1 2l k-x . dx o k- 0 l 2l3 k- l3 . 2l3 cosk- cosk- 7 k- k - 2l3 2l3 9 Thay 8 9 vào 7 ta có ak 1 - cosk- l k - 10 nÕu k 2n - cosk- 32 -3 nÕu k 2n 1 n 0 1 2. 4 12 K l o o l I2 k - . . . cosk- k - k - Tõ 6 bk 0 do đó nghiệm của bài toán đã cho nívt 1- 32 1 2n 1 -at . 2n 1 -x u x -à 2 17cos l sin l Bài 2 bnh dao éng tù do cna d y h u h1n g n chẫt t1 i mót x 0 x 1 biết độ lệch ban đầu bằng 0 vận tốc ban đầu được cho bởi 3w fv0cos x - c nÕu x - c 2 7 x 0 _ ổt 0 nÕu x - c 2 víi v0 là hằng số dưong và k 2 c I - k 2. GTị_ . Gãi u x t là độ lệch của dây có hoành độ x ở thời điểm t .Ta có phưong trình dao éng cna d y a2 trong miÒn 0 x l 0 t T 1 J dt2 dx2 - tho m- n iÒu kiỡn bian 0 0 0 t T 2 và thoả mãn điều .
