Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia được phát biểu như sau: Phép nhân (hoặc chia) với một số thực dương bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực, phép nhân (hoặc chía)với một số thực âm đảo ngược quan hệ thứ tự trên tập số thực. | bất đẳng thúc Schur VÀ PHƯƠNG PHÁP Đổi BIẾN P Q R Võ Thành Văn Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-ĐHKH Huế Như các bạn đã biết bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứng dụng tuy nhiên nó vẫn còn khá xa lạ với nhiều bạn học sinh THCS cũng như THPT. Qua bài viết này tôi muốn cũng cấp thêm cho các bạn một kĩ thuật để sử dụng tốt BDT Schur đó là kết hợp với phương pháp đổi biến p q r. Trước hết tôi xin nhắc lại về bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến p ợ r. 1 Bất đẳng thức Schur Định lý 1 Bất đắng thức Schur Với mọi so thực không âm a b c k ta luôn có ak a b a c bk b c b a ck c a c b 0. Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k 1 và k 2 a a b a c b b c b a c c a c b 0 a a b a c b2 b c b a c2 c a c b 0 ii 2 Phương pháp đổi biến p r Đối với một số bài bất đẳng thức thuần nhất đối xứng có các biến không âm thi ta có thể đổi biến lại như sau Đặt p a b c q ab bc ca r abc. Và ta thu được một số đẳng thức sau ab a b bc b c ca c a pq 3r a b b c c a pq r ab a2 b2 bc b2 c2 ca c2 a2 p2q 2q2 pr a b a c b c b a c a c b p2 q a2 b2 c2 p2 2q a3 b3 c3 p3 - 3pq 3r a4 b4 c4 p4 4p2q 2q2 4pr a2b2 b2c2 c2a2 q2 2pr a3b3 b3c3 c3a3 q3 3pqr 3r2 a4b4 b4c4 c4a4 q4 - 4pq2r 2p2r2 4qr2 Đặt L p2q2 18pqr 27r2 4q3 4p3r khi đó A 42 c a pq - 3r pL a b b c c a ipL 1 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Cỏ thể thấy ngay lợi ích của phương pháp này là mối ràng buộc giữa các biến p q r mà các biến a b c ban đầu không cỏ như p2 3q p3 27r q2 3pr pq 9r 2p3 9r 7pq p2q 3pr 4q2 p4 4q2 6pr 5p2q Những kết quả trên đây chắc chắn là chưa đủ các bạn cỏ thể phát triển thêm nhiều đẳng thức bất đẳng thức liên hệ giữa 3 biến p q r. Và điều quan trọng mà tôi muốn nỏi đến là từ bất đẳng thức i và ii ta cỏ r dí 2 từ i 9 r 4q - p2 p2 - q từ ii 6p Tuy nhiên trong một số trường hợp thi cỏ thể các đại lượng 4q p2cỏ thể nhận giá tri âm lẫn giá trị dương nên ta thường sử dụng p 4q - p2 1 r max 0 4 4q - p2 p2 - q ì r max u 6p Cỏ lẽ đến đây các bạn đã hiểu được phần nào về bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến p q
