Trong nửa nhóm nhân (hoặc cộng) khi thực hiện phép nhân (phép cộng) đối với nhiều phần tử thì ta có thể nhóm các nhân tử (hạng tử) theo mọi cách mà chỉ cần giữ nguyên thứ tự. Hệ quả. Cho a1, a2, . . . , an là những phần tử của nửa nhóm nhân X. | csc tÊp hip sè n m n z a. zai z aj với mọi m 1 m n. i 1 i 1 j m 1 Nhận xét. Trong nửa nhóm nhân hoặc cộng khi thực hiện phép nhân phép cộng đối với nhiều phần tử thì ta có thể nhóm các nhân tử hạng tử theo mọi cách mà chỉ cần giữ nguyên thứ tự. Hệ quả. Cho a15 a2 . . . an là những phần tử của nửa nhóm nhân X. Khi đó ta có n k m na .n a1 i 1 J k 1 n n ae e m 1 k n a1 m n n ae J k 1 e m 1 với mọi k m 1 k m n. Chứng minh Đẳng thức thứ hai suy ra từ tính chất kết hợp của phép nhân trong nửa nhóm X. Theo định lí ta có n m n nai nai. n ae 1 m n. i 1 i 1 e m 1 Ta lại có na rKfh 1 k m. i 1 i 1 j k 1 1 2 Thay 2 vào 1 ta được n k m n .ô aj i 1 j k 1 n . n a. e m 1 Định lí . Cho a1 a2 . . . an n 2 là những phần tử của nửa nhóm giao hoán X. Khi đó với mọi hoán vị j1 j2 . . . jn của 1 2 . . . n ta có n na. a. a .a . . 11 j2 jn i 1 Chứng minh Với n 2 tính chất này đúng vì a1a2 a2a1. k Giả sử tính chất này đúng với n k k 2 tức là ta có nai a .aj .aj với jb j2 . . . jk là i 1 một hoán vị bất kì của 1 2 . . . k . Với n k 1 gọi jb j2 . . . jk 1 là một hoán vị bất kì của 1 2 . . . k k 1 . 20 csc tÊp hip sè Nếu jk 1 k 1 thì W. WJ 1 na A i ĩheogiflthiỡquyn p i 1 k 1 n a i 1 Nếu jk 1 k 1 giả sử jr 1 k 1 ta có a. .a. a. .a. a. a. .a. ak ha. .a. . j1 Jr j r 1 Jk 1 j1 j2 jr k 1 Jr 2 jk 1 a a .a r a .a a 11 j1 Jk Jr L Jr 2 Jk 1 k 1 J a a .a a a ak 1. J1 J2 Jr Jr 2 Jk 1 k 1 k Theo giả thiết quy nạp a a .a a .a na-J1 j2 jk jr 2 jk 1 i i 1 k k 1 Vậy ai1ai2-ai. .1 n a- A .1 n ai. i 1 i 1 áp dụng. Ta xét bài toán sau Tìm kết quả sau bằng cách tính nhanh nhất A 21 79 35 65 47 53 B 4 X 25 X 7 X 8 X 125 X 20 X 5 C 21 53 35 79 47 65 D 125 X 5 X 25 X 20 X 8 X 4 X 7. Giải A 21 79 35 65 47 53 300. 100 100 100 B 4 X 25 X 7 X 4 X 125 X 20 X 5. 100 X 7 X 1000 X 100 70 000 000. C 21 53 35 79 47 65 21 79 53 47 35 65 300. D 125 X 5 X 25 X 20 X 8 X 4 X 7 125 X 8 X 5 X 20 X 25 X 4 X 7 70 000 000. . Nửa nhóm con 21 csc tÊp hip sè Định nghĩa . Cho X T là một nửa nhóm. A là một tập con
