Từ đó suy ra g = g1 - g2 = 0 ⇒ u = u1 - u2 = 0 || g || = || g1 - g2 || | Từ công thức chúng ta có ước lượng sau đây V x t e H u x t í I g x 2asVt I e-s2 ds supD g - yln Từ đó suy ra g gi - g2 0 u u - u2 0 g gi - g2 ỗ u Ui - U2 e Vậy bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định trên H. I Ví du Giải bài toán du d 2u -x 4 và u x 0 xex dt dx2 Hàm g x xe-x thoả mãn điều kiện của định lý. Theo công thức u x t í x - 8t Wt s Wt e- s yĩ 2e4t xds VTC -í x - 8t í e dơ Wt í ơe dơ V x - 8t e4t-x với ơ s 2 Tt Đ2. Bài toán Cauchy không thuần nhất Bài toán CP1b Cho các miền D 3 H D X 3 và hàm f e C H 3 . Tìm hàm u e C H 3 thoả mãn phương trình truyền nhiệt du 2d2u a f x t với x t e Ho dt dx2 và điều kiện ban đầu u x 0 0 Đỉnh lý Cho hàm f e C H 3 n B D 3 và hàm v x T t là nghiệm của bài toán CPla thoả mãn v x T 0 f x T . Bài toán CPlb có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức sau đây t 1 t. Vf - T 2 r . u x t ív x T t -T dT 1 í dT íf- e 4a2 t-T d- 0 2aVn 0 -ÍVt-T Chứng minh Do hàm f e C H 3 n B D 3 nên hàm v e C2 H X 3 3 . Do đó có thể đạo hàm tích phân theo x hai lần theo t một lần. Kiểm tra trực tiếp Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 135 ương 8. Phương Trình Truyền Nhiệt du dv 2 d2v -T- It x T t-T dT v x t 0 a2 -5- x T t-T dT f x t dt 0 dt 0 dx2 a2 l u f x t và u x 0 0 dx2 Tính duy nhất và ổn định suy ra từ bài toán CP1 a. Bài toán CP1 Cho các miền D 3 H D X 3 các hàm f e C H 3 và g e C D 3 . Tìm hàm u e C H 3 thoả mãn phương trình truyền nhiệt du 2d2u TT a f x t với x t e H0 dt dx2 và điều kiện ban đầu u x 0 g x Tìm nghiệm của bài toán CP1 dưới dạng u x t ua x t ub x t trong đó ua x t là nghiệm của bài toán CPla Kết hợp các công thức và suy ra công thức sau đây. 1 Ấ x t x A u x t I g x 2aVt s e-s2ds 1 dT I f x 2aVĩ s t -T e -s2ds n y- 0 - j ÚT ĩfe i -x 2 4a2t t d 1dT I 0 -tt t -T 4T -x 2 A e 4a2T dặ Đỉnh lý Cho các hàm f e C H 3 n B D 3 và g e C D 3 n B D 3 . Bài toán CP1 có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức . . du d2u Ví du Giải bài toán a2 3t2 và u x 0 sinx dt dx2 Hàm f x t t2 g x
