Tìm nghiệm của b i toán DE1a dạng tách biến u(r, ϕ) = V(r)Φ(ϕ) Thế v o ph−ơng trình () nhận đ−ợc hệ ph−ơng trình vi phân Φ”(ϕ) + λΦ(ϕ) = 0 () 2 r V”(r) + rV’(r) - λV(r) = 0, với λ ∈ 3 () Ph−ơng trình () có họ nghiệm riêng trực giao, tuần ho n chu kỳ T = 2π Φk(x) = Akcoskϕ + Bksinkϕ, λk = k2 với Ak, Bk ∈ 3, k ∈ ∠ Thay v o ph−ơng trình () tìm họ nghiệm riêng độc lập v bị chặn Vk(r) = Ckrk với Ck. | Chương 8. Phương Trình Truyền N Tìm nghiệm của bài toán DE1a dạng tách biến u r ọ V r O ọ Thế vào phương trình nhận được hệ phương trình vi phân O ọ ÀO ọ 0 r2V r rV r - ÀV r 0 với À e 3 Phương trình có họ nghiệm riêng trực giao tuần hoàn chu kỳ T 2n Ok x Akcoskọ Bksinkọ Àk k2 với Ak Bk e 3 k e z Thay vào phương trình tìm họ nghiệm riêng độc lập và bị chặn Vk r Ck với Ck e 3 k e z Suy ra họ nghiệm riêng độc lập của bài toán DE1a Uo ao uk r ọ rk akcoskọ bkSinkọ với ak CkAk bk CkBk k e z Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE1a dạng chuỗi hàm u r ọ a0 rk ak cos kọ bk sin kọ k 1 Thế vào điều kiện biên u R 0 a0 Rk ak cos k0 bk sin k0 g 0 k 1 Nếu hàm g có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì 2n 2n 2n a0 jg 0 d0 ak - jg 0 cosk0d0 bk - jg 0 sink0d0 2n 0 nR 0 nR 0 Đinh lý Cho g e C1 0 2n 3 thoả mãn g 0 g 2n . Chuỗi hàm với các hệ số ak và bk tính theo công thức là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE1a. Chứng minh Lập luận tương tự như bài toán CP1 Ví du Giải bài toán DE1 Au 0 với u R 0 2Rsin0 Hàm g 0 2Rsin0 thoả mãn các điều kiện của định lý. Theo công thức 1 2 a. 0 và bk 2R sin 0 sin k0d0 . 1 với k e z k k nRk 0 I 0 k 1 Suy ra nghiệm của bài toán u r ọ 2rsinọ 2y Kí hiệu u z u r ọ với z reiọ e D0 Theo kết quả ở Đ8 chương 3 suy ra bài toán DE1a có nghiệm theo công thức sau đây. Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 145 ương 8. Phương Trình Truyền Nhiệt Giả sử trong hình tròn B 0 R hàm g có các cực điểm khác không ak với k Theo công thức tính tích phân Cauchy ta có I z ResF z ResF 0 T Re sF ak k 1 Ví du Giải bài toán DE1 Au 0 với u R 0 2Rsin0 Chuyển qua toạ vị phức g Z 2Rị e - e- 0 1 z . 3 và F Z 1 Ỉ ỉz R 2 2 2 i z2 i z - z z2 Ta có 2 2R2 I z Res f z Res f 0 - ------ -2iz iz iz Suy ra nghiệm của bài toán u z Re -2iz 2y Bài toán DE1b Cho miền D p R X 0 2n và các hàm g h e C 0 2n 3 Tìm hàm u e C D 3 thoả mãn phuơng trình Laplace Au r ọ 0 với r ọ e D0 và điều kiện biên u p 0 g 0
