Định lý Cho các h m g1 , g3 ∈ C1([0, l], 3) v g2 , g4 ∈ C1([0, d], 3) thoả m n g4(0) = g1(0), g1(l) = g2(0), g2(d) = g3(l), g3(0) = g4(d) Chuỗi h m () với h m u0(x, y) xác định Kết hợp các công thức () - () nhận đ−ợc công thức +∞ kπ kπ kπ u(x, y) = u0(x, y) + ∑ a k sh (d − y) + c k sh y sin x l l l k =1 | ương 8. Phương Trình Truyền Nhiệt Thế vào điều kiện biên suy ra ga x Ua x 0 g1 x - g1 0 - I g1 l - g1 0 gc x uc x d g3 x - g3 0 - I g3 l - g3 0 gb y Ub i y g2 y - g2 0 - y g2 d - g2 0 d gd y ud 0 y g4 y - g4 0 - y g4 d - g4 0 d Kết hợp các công thức - nhân đuợc công thức u x y U0 x y Y k 1 . T r kn kn V kn __ 1 bksh x dksh l-x Isin y k 1 d d d _ kn krc V kn aksh d - y cksh - y I sin -x Đinh lý Cho các hàm g1 g3 e C1 0 l 3 và g2 g4 e C1 0 d 3 thoả mãn - g4 0 g1 0 g1 l g2 0 g d g3 l g3 0 g4 d Chuỗi hàm với hàm u0 x y xác định theo các công thức - và các hệ số ak bk ck và dk xác định theo các công thức - trong đó các hàm ga gb gc và gd xác định theo công thức là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE2. Đ8. Bài toán Neumann Bài toán NE1 Cho miền D 0 R X 0 2n và hàm h e C 0 2n 3 Tìm hàm u e C D 3 thoả mãn phuơng trình Laplace _ 1 d du Y 1 d2u Au - T-l r I 0 với r ọ e Do r dr dr r2 dọ2 Y 0 và điều kiện biên R 0 h 0 ơr Tìm nghiệm của bài toán NE1 dạng tách biến u r ọ V r O ọ Trang 150 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Thay vào phương trình nhận được hệ phương trình vi phân O p ÀO p 0 r2V r rV r - ÀV r 0 À e 3 Bài toán có họ nghiệm riêng độc lập u0 a0 uk r p rk akcoskp bksinkp với ak CkAk bk CkBk k e z Tìm nghiệm tổng quát của bài toán NE1 dạng chuỗi hàm u r p a0 y rk ak coskp bk sinkp k 1 Thế vào điều kiện biên du R 0 y kRk-1 ak cos ke bk sin k0 h 0 k i Nếu hàm h có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì a u 0 0 ak 1 nh 0 cosk0d0 b 1 nh 0 sink0d0 k knR 0 k knRk-1 0 Đỉnh lý Cho h e C1 0 2n 3 thoả mãn h 0 h 2n . Chuỗi hàm với các hệ số ak và bk tính theo công thức là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán NE1. Lập luận tương tự như các bài toán DE2 chung ta giải các bài toán sau đây Bài toán NE2b Cho miền D 0 l X 0 d và hàm hb e C 0 d 3 . Tìm hàm u e C D 3 thoả mãn phương trình Laplace Au 2u 2u 0 với x y e D0 dx2 dy2 0 và các điều kiện biên u x d u 0 y u
