Cho các số phức a, b ∈ ∀. Chứng minh rằng z + abz − (a + b) a. | a | = | b | = 1 ⇒ ∀ z ∈ ∀, ∈ i3 a−b a+b b. | a | = | b | = 1 v 1 + ab ≠ 0 ⇒ ∈3 1 + ab 3. Viết dạng l−ợng giác của các số phức a. -1 + i 3 b. ( 3 + i)10 c. | ương 1. Sô Phức 1. Viết dạng đại số của các số phức a. 2 - i 1 2i b. 4 - 3i 4 5i c. 3-4 d. 1 2i 3 2. Cho các số phức a b e V. Chứng minh rằng z abz - a b a. a b 1 V z e V -- e i3 a-b b. a b 1 và 1 ab 0 p b e 3 3. Viết dạng lượng giác của các số phức a. -1 b 3 b. 5 3 i 7 10 c. VT d. VT 1 b. z4 - 5 - 14i z2 - 2 12 5i 0 d. z z j z 1 2 0 4. Giải các phương trình a. z2 - 2 3i z - 1 3i 0 c. 3z2 z 1 2 z2 2z 2 2 0 e. Z . - 3 í z i 1 z . X 2 í z i 1 z ị 1 0 1 z - i 1 z - i. z-i g. z i n z - i n z 1 z I 1 - z I f. h. 1 2z 2z2 . 2zn-1 zn 0 5. Tính các tổng sau đây a. A cn cn cn . B Cn C4 cn . C cn cn cn . b. c cos a kb và S sin a kb k 0 k 0 2n 1 6. Kí hiệu e n là căn bậc n thứ k của đơn vị a. Tính các tổng n-1 n-1 E k 1 mk X cn n k 0 k 0 b. Chứng minh rằng n-1 -1 n-1 V z e V n z - k z1 Suy ra n sin n-1 k 1 l 0 k 1 n 2 7. Trong mặt phẳng phức cho tìm điểm M z sao cho a. Các điểm có toạ vị là z z2 và z3 lập nên tam giác có trực tâm là gốc O b. Các điểm có toạ vị z z2 và z3 thẳng hàng c. Các điểm có toạ vị z z2 và z3 lập thành tam giác vuông 8. Khảo sát sự hội tụ của dãy số phức U0 e V V n e z un 1 1 un 1 - un Trang 20 Giáo Trình Toán Chuyên Đề 9. V n zn e z X V và argzn a. Chứng minh rằng chuỗi I zn I hội tụ n 0 10. Cho tam giác A ABC. Kí hiệu M0 A M1 B M2 C và V n e z Mn 3 là trọng tâm của tam giác AMnMn 1Mn 2. Chứng tỏ rằng dãy điểm Mn neZ là dãy hội tụ và tìm giới hạn của nó 11. Cho hàm f I V sao cho f t 0. Chứng minh rằng hàm f là đơn điệu tăng khi và chỉ khi Re f f 0. 12. Cho f 3 V liên tục và bị chặn. Tính giới hạn a. lim x 1if t dt a 1 4 0 t a x . 7 f t x b. lim 1 dt 0 1 t 13. Khảo sát các đường cong phẳng a. z t acost ibsint b. z t acht ibsht c. z t t - sint i 1 - cost lnt d. z t tlnt i t 14. Biểu diễn trên mặt phẳng các tập con của tập số phức a. z - 3 4i 2 n c. arg z - i 4 e. 0 Imz 1 và z 2 g. z 2 và Rez -1 b. z - 1 z 1 3 d. - 3 argz -4 và z 2 f. z - 1 z 1 3 h. z - i 1 và z 2 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 21 Chương 2 Hàm biến phức Đ1. Hàm biến phức Cho miền D c V. .
