I. Mục đích. Việc giải bài toán hệ phương trình tuyến tính có một ý nghĩa rất to lớn trong nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế. Lý thuyết hạng của ma trận nhằm để giải quyết bài toán: Khi nào thì hệ phương trình tuyến tính có nghiệm? | HẠNG CỦA MA TRẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Tác giả Phạm Gia Hưng Bộ môn Toán - Khoa KHCB Năm học 2004 - 2005 I. Mục đích. Việc giải bài toán hệ phương trình tuyến tính có một ý nghĩa rất to lớn trong nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế. Lý thuyết hạng của ma trận nhằm để giải quyết bài toán Khi nào thì hệ phương trình tuyến tính có nghiệm Trong các tài liệu giảng dạy môn Toán Cao Cấp ở các trường Đại Học thông thường người ta dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng hoặc các cột của ma trận đưa ma trận về dạng hình thang để xác định được hạng của ma trận. Điều này sẽ tăng khối lượng tính toán. Hơn nữa điều chủ yếu đáng nói ở đây là vấn đề logic trình bày. Khi giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss khi ta chỉ dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận đưa ma trận về dạng bậc thang và khi nhìn vào ma trận bậc thang này sinh viên sẽ dễ lúng túng khi xác định hạng của ma trận hệ số cũng như ma trận mở rộng và từ đó khó lòng biện luận được số nghiệm của hệ phương trình. Đề tài đưa ra là nhằm để khắc phục vấn đề nói trên. Xin cám ơn sự đóng góp ý kiến của anh em đồng nghiệp. II. Tài liệu tham khảo. 1 Nguyễn Đình Trí Chủ Biên Toán Cao Cấp Tập II. NXB Giáo Dục 2000. 2 Phạm Gia Hưng Bài Giảng Toán Cao Cấp C2. Nha Trang 2004. III. Nội dung. 1. H ạng của ma trận. Định nghĩa 1. Cho A Mat mxn . Ta gọi i Định thức con cấp k của A là định thức được suy từ A bằng cách bỏ đi m - k hàng và n-k cột. ii Hạng của A là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của A ký hiệu r A rank A và quy ước coi hạng của ma trận không là bằng 0. 1 Nhận xét. Nếu mọi định thức con cấp k của A đều bằng không thì mọi định thức con có cấp cao hơn k của A cũng đều bằng không. Từ định nghĩa suy ra r A r A tồn tại có ít nhất một định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức con cấp r 1 đều bằng 0. Nếu AeMat mxn A O thì 0 r a min m n . Nếu AeMat nxn thì r A n detA 0 hay r A n detA 0. Định lý 1. Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp. Nói cách khác
