Tham khảo tài liệu 'một số vấn đề về bất đẳng thức đại số', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Cực TRỊ ĐẠI SỐ A. Môt số vấn đề về bất đẳng thức đại số Bất đẳng thức là một trong những vấn đề lí thú nhất trong giải tóan phổ thông. Trong mục này chúng ta sẽ ôn lại một số bất đẳng thức cổ điển và tiếp cận một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Do khối lượng kiến thức là tương đối lớn nên một số khái niệm tính chất cơ bản đều được bỏ qua. Các bạn có thể tìm thây những tính chất này này Sách Giáo Khoa của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo. Dưói đây là các nội dung trong chuyên đề này. a Bất đẳng thức Cauchy i Bất đẳng thức Cauchy có lẽ là đã quen thuộc với nhiều bạn . Ngay từ năm lớp 8 các bạn đã bắt gặp các bất đẳng thức như x -. 2 v - 3y í 4xs Trong đó x y z t là các số thực không âm Những bất đẳng thức có dạng này được gọi là bất đẳng thức Cauchy. Bất đẳng thức Cauchy tổng quát có dạng như sau Cho x1 x2 . xn là các số thực không âm. Khi đó ta có bất đẳng thức sau x x . x 1 2 n n Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 . xn _ . x X2 . x . Đại lượng 1 --------------- được gọi là trung bình cộng của các số x1 x2 . xn. n Đại lượng -ựx1 được gọi là trung bình nhân của các số x1 x2 . xn. Do đó bất đẳng thức Cauchy còn có tên gọi khác là bất đẳng thức TBC-TBN bất đẳng thức giữa đại lượng trung bình cộng và đại lượng trung bình nhân . Bất đẳng thức Cauchy có nhá nhiều cách chứng minh. Tuy nhiên do khuôn khổ quyển sách nên ở đây tác giả chỉ nêu ra cách chứng minh điển hình nhất. Phương pháp chứng minh này cũng đa gắn liền với một tên gọi Quy nạp Cauchy . Các bạn có thể tham khảo thêm về phương pháp này trong phần phương pháp Quy Nạp. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh đúng khi n 2k Trước hết ta chứng minh cho trường hợp cơ sở k 1. Ta cần chứng minh x y 2y xy y x -y ỹý2 0. Bất đẳng thức tương đương là đúng do đó bất đẳng thức ban đầu cũng đúng. Giải sử bất đẳng thức đã đúng cho k m tức là X 2 . X I----------------- 1 22m 2 2 X1 Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cũng đúng cho k m 1. X1 X2 . X2 m 1 ựX1 X2 V X3 X4 . l X2m 1 -iX2m
