Tham khảo tài liệu 'chuyên đề đạo hàm và ứng dụng', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tích 11 Chủ đề ĐẠO HÀM CẤP CAO I- LÝ THUYẾT Cho hàm số y f x 1 Giả sử hàm sốy f x có đạo hàm tại mọi x e a b . Khi đó tương ứng f a b R x f x cho ta một hàm số mới. Vì hàm số này xây dựng từ hàm số y f x hoàn toàn xác định bởi hàm số đó nên được gọi là đạo hàm của hàm số y f x . Tương tự nếu hàm số y f x 2 có đạo hàm tại mọi điểm x E c d c a b thì ta lập được đạo hàm của 2 theo cách trên gọi là đạo hàm cấp hai của y f x và kí hiệu là y11 f11 x . TỔNG QUÁT Nếu hàm số y n-1 f n-1 x có đạo hàm tại mọi điểm x e c d thì tương ứng f n c d R x f n x cho ta đạo hàm của y n-1 f n-1 x gọi là đạo hàm cấp n của hàm số y f x và kí hiệu là y n f n x Như vậy y rVx Vn 4 II- THUẢT TOÁN XÁC ĐỊNH ĐẠO HÀM CẤP n CỦA HÀM SỐ Bước 1 Tính y y11 y . và tiến hành dự đoán đạo hàm cấp n dựa trên logic. Bước 2 Chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học. III- MÕT SỐ KẾT QUA VÀ VÍ DỤ CẦN LƯU Ý Bài tâp 1 Chứng minh rằng a sin ax n n- p a sin ax n-- 2 b cosax ì n 1 n p a cos ax n 2 Giải Ta có Ơ . p I acosax asin ax 2 sin ax Đứng với n 1 K p aksin ax k-ị 2 Ta cần chứng minh cũng đứng với n k 1 tức là sin ax k 1 ak 1 Giả sử đứng đến n k tức là sin ax k xk p sin ax k 1 k 1 Ta có sin ax sin ax k r . 1 ak sin ax . p 11 a cos ax k - . ax k 2 2 I p 2 k p Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại sô và Giải tích 11 ak 1cos p ax k ak 1sin p p ax ak 1sin p ax k 1 2 2 2 2 Chứng minh tương tự ta được cosax ợn p a cos ax n-- 2 Ví du áp dung Tính y n biết y sin Giải Ta có y X sin 7 X sin3x y n 1 7n sin f 7 X n p 3n sin 3x n p 2 2 I 2 Ví dụ áp dung Cho y X2 sin X. Tính y 25 Giải áp dụng công thức Lai-bơ-nit Leibnitz . Quy ước u 0 u n _ S k n k k _ n 1 n 1 n 1 n 1 n n uv yCnu .v u 7v C u .v . C u .V 7 C k 0 V I .2Ìk và chú ý răng X 0 Vk 3 Ta được y 25 I . 2 25 sin x .X 2 25 1 24 V 23 z 2Ợ sinx .X sinX .X 25 sinX . x ---- sinX . x X2 sin X 50 X sin X 24 p 600sin X 2 2 J 2 Suy ra y 25 x2 600 cos X 50X sin X 2 Ví du áp dung Cho y 1
