Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 - Môn: Giải tích cơ bản - Lý thuyết chuỗi | GIẢI TÍCH CƠ BẢN Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ngày 10 tháng 11 năm 2004 LÝ THUYẾT CHUỖI 1 Chuỗi số Định nghĩa Định nghĩa 1. Cho an n là dãy số có thể thực hay phức chuỗi tương ứng ký hiệu là 2an. 1 Với mỗi k E N đặt sk Ỵ2 an là tổng riêng phần thứ k. Khi k thay đổi trên N có dãy 1 tổng riêng phần sk k. Nếu lim sk tồn tại hữu hạn ta nói chuỗi an hội tụ và đặt S lim sk là tổng của chuỗi k œ k œ 1 S an. 1 Nếu lim sk không tồn tại hoặc lim sk œ hay lim sk œ ta nói chuỗi an phân k œ k œ k œ 1 kỳ. Tính chất 1. Tính hội tụ và tổng của chuỗi không thay đổi nếu thay đổi thứ tự của một số hữu hạn số hạng. 2. Chuỗi an và an cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 1 n n0 3. Điều kiện cần nếu chuỗi 2 an hội tụ thì lim an 0. k œ 1 1 Chuỗi không âm Là chuỗi có dạng 2 an an 0. 1 Tính chất Cho 2 an an 0. Khi đó dãy tổng riêng phần sk k là dãy tăng và nếu sk k bị chặn thì 1 chuỗi J2 an hội tụ. 1 Dấu hiệu so sánh oc tt 1. Giả sử 0 an bn n n0. Khi đó nếu 2 bn hội tụ thì an hội tụ nếu 2 an phân kỳ thì 2 bn phân kỳ. 1 2. Giả sử lim - k. Khi đó n x bn a Nếu 0 k TO thì a- bn cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 11 b Nếu k 0 và bn hội tụ thì ỵ2 a- hội tụ nếu a- phân kỳ thì b- phân kỳ. 11 1 1 c Nếu k TO và ỵ2 an hội tụ thì ỵ2 bn hội tụ nếu ỵ2 bn phân kỳ thì ỵ2 an phân kỳ. 11 1 1 Tiêu chuẩn tích phân Cho f 1 to R liên tục f x 0 và f giảm. Với mọi n E N đặt an f n . Khi đó ro ro Tích phân suy rộng f x dx hội tụ o Chuỗi ỵ2 an hội tụ. 11 Chuỗi cơ bản 2 hội tụ khi s 1 phân kỳ khi s 1. ns ỵ tn t 1 hội tụ và tổng S y2 tn --- 0 0 t Dấu hiệu D Alembert tỉ số Cho chuỗi số dương an an 0. Giả sử lim n 1 k. Khi đó n x an 1. Nếu k 1 thì an hội tụ. 1 2 2. Nếu k 1 thì yy an phân kỳ. 1 3. Nếu k 1 chưa kết luận về sự hội tụ. Ghi chú. Nếu có n 1 1 Vn 110 thì chuỗi yan phân kỳ. an 1 Dấu hiệu Cauchy căn số Cho chuỗi không âm y an an 0. Giả sử lim nfãn k. Khi đó k œ 1 1. Nếu k 1 thì chuỗi hội tụ. 2. Nếu k 1 thì chuỗi phân kỳ. 3. Nếu k 1 chưa kết luận về sự hội tụ. .
