cLý thuyết xác suất và toán học thống kê nói chung và lý thuyết các hàm ngẫu nhiên nói riêng là công cụ toán học quan trọng được sử dụng rất rộng rãi là hiệu quả trong các khoa học khí tượng, thủy văn và hải dương học. Trong chương trình đào tạo chuyên ngành khí tượng, thủy văn và hải dương học việc ứng dụng các phương pháp thống kê và lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên có mặt trong nhiều môn học và thể hiện dưới những hình thức khác nhau. Tuy nhiên, cho đến nay ở. | có thể định ra những chỉ dẫn cụ thể về việc chọn tối ưu độ dài tuyến o tuyết và khoảng cách giữa các điểm đo ứng vối từng vùng địa lý căn cứ vào những dẫn liệu về cấu trúc thống kê của độ cao thảm tuyết ỏ vùng đã cho. 0 khi ĩ k 1 khi ĩ k. ChƯơNG 8 KhAI TRIEN QUÁ TRÌNh NGẪU NhlÊN VÀ TRƯỜNG NGẪU NhlÊN ThÀNh NhỮNG ThÀNh PhẦN TRựC GIAO Tự NhlÊN . Thiết lập bài toán Trong toán học phương pháp khai triển các hàm thành chuỗi theo một hệ hàm trực giao chuẩn hoá nào đó được sử dụng rộng rãi. Hệ hàm ọ1 t ọ2 t . ọn t . được gọi là trực giao chuẩn hoá trực chuẩn trên khoảng a b hữu hạn hoặc vô hạn nếu thoả mãn hệ thức J ọ t ọ k t d t a Hệ hàm ọk t được gọi là đầy đủ nếu như một hàm f t bất kỳ cho trên khoảng a b có thể khai triển thành chuỗi Fourier theo nó f t 2 ak ọ k t . k 1 Các hằng số ak gọi là các hệ số Fourier và từ chúng được xác định theo công thức b ak J f t Ọk t dt a Tổng n số hạng đầu tiên của chuỗi n f t 2 a Ọk t . được gọi là đa thức Fourier của hàm f t . Bây giờ một cách gần đúng nếu ta thay thế hàm f t bằng tổng thì vối mỗi giá trị của đối số t xuất hiện sai số 8n t bằng 8n t f t - fn t . Người ta gọi đại lượng 8n là sai số bình phương trung bình của phép xấp xỉ hàm f t bằng tổng trên khoảng a b 8 J J f t - fn t 2 dt a Từ các đa thức dạng n 2 Ck Ọk t k 1 173 độ lệch bình phương trung bình nhỏ nhất của hàm f t sẽ cho một đa thức Fourier tức một đa thức mà các hệ số Ck là các hệ số Fourier ak. Khi đó đại lượng 82 bằng 8 ịf2 t dt - Ỳa2. a k 1 Thực vậy b r 12 - 8n ị pt - Ỳ Ck Ọk t j dt b n b n n b ị f2 t dt - 2Ỳ Ck ị f tM t dt Ỳ Ỳ CkCt ịỌk t Ọi t dt a k 1 a k 1 i 1 a b ro n ị f2 t dt - Ỳ Ck - ak 2 Ỳ1 a2. n Vế phải của nhận giá trị nhỏ nhất bằng khi Ỳ Ck - ak 2 0 tức khi k 1 Ck ak . Đại lượng 82 không âm vì vậy ta có bất đẳng thức Ỳa2 ịf2 t dt. k 1 a b Từ đó thấy rằng đối vối các hàm khả tích vối bình phương tức khi ị f2 t dt là một a số hữu hạn thì chuỗi Ỳ ak hội tụ .
