Tìm nghiệm của b i toán DE1a dạng tách biến u(r, ϕ) = V(r)Φ(ϕ) Thế v o phương trình () nhận được hệ phương trình vi phân Φ”(ϕ) + λΦ(ϕ) = 0 () 2 r V”(r) + rV’(r) - λV(r) = 0, với λ ∈ 3 () Phương trình () có họ nghiệm riêng trực giao, tuần ho n chu kỳ T = 2π Φk(x) = Akcoskϕ + Bksinkϕ | ương 7. Phương Trình Truyền Sóng Bài toán Diriclet DE Bài toán Neumann NE Tìm hàm u e C D 3 thoả mãn phương trình Laplace Tìm hàm u e C D 3 thoả mãn phương trình Laplace d 2u d 2u -7 3 -7 7- f x y dx2 dy2 d2u d2u -7 3 T f x y dx2 dy2 và điều kiện biên u 9d g x y và các điều kiện biên du _ . u 9d g x y Im 9d h x y ơn Đ4. Bài toán Cauchy thuần nhất Bài toán CH1a Cho các miền D 3 H D X 3 và hàm h e C D 3 . Tìm hàm u e C H 3 thoả mãn phương trình truyền sóng 2 2 u a2 u với x t Ho dt2 dx2 và điều kiện ban đầu u x 0 0 x 0 h x dt Đổi biến ệ x at n x - at Tính các đạo hàm riêng bằng công thức đạo hàm hàm hợp du du du du du du I a I dx dặ dn dt I dặ dp d 2u d 2u d 2u d 2u d 2u 2 d 2u d 2u d 2u I T-T - 2 -2 2-22 a2 2-22-2 -2 I dx2 dặ2 dỊdp dp2 dt2 Id32 dcdp dp2 Thế vào phương trình nhận được phương trình d 2u d dn 0 Tích phân hai lần u ặ n ọ ặ v n Trở về biến cũ u x t ọ x at y x - at Thế vào điều kiện ban đầu u x 0 ọ x v x g x và ú x 0 a ọ x - v x h x Chương 7. Phương Trình Truyền Són Tích phân phương trình thứ hai đưa về hệ phương trình ọ x v x 0 ọ x - Y x 1J h ệ dệ a 0 Giải hệ phương trình trên tìm ọ x và y x và suy ra nghiệm của bài toán x at u x t A. J h ệ dệ x-at Đinh lý Cho hàm h e Ơ D 3 . Bài toán CH1a có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức Chứng minh Do hàm h e C1 D 3 nên hàm u e C2 H 3 . Kiểm tra trực tiếp V x t e H ậỉ. 1 a h x at h x - at dt 2 a2u 1 2d2u a h x at h x - at a at2 2 dx2 V x e D u x 0 0 1 x 0 h x at . . . a2u d2u du Nếu u là nghiệm của bài toán a2 u x 0 0 x 0 hi dt2 dx2 dt . . d 2u .ớ 2u du thì u u - u2 là nghiệm của bài toán a2 u x 0 0 x 0 h - h2 h dt2 dx2 dt Với mỗi T 0 cố định kí hiệu B x - aT x aT và HT B X 0 T . Từ công thức chúng ta có ước lượng sau đây V x t e Ht u x t T supB h ệ Từ đó suy ra h h1 - h2 0 u u1 - u2 0. h hi - h2 ỗ u ui - u2 e Tỗ Vậy bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định trên HT với mỗi T cố định. Do tính liên tục của nghiệm suy ra bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định trên
