Tham khảo tài liệu 'giáo trình toán chuyên ngành điện_chương 7_2', kỹ thuật - công nghệ, điện - điện tử phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Giả sử hàm uo x khai triển được dưới dạng tích phân Fourier ta sẽ có C h TO Uo ij cosh 2n -TO 1 TO C2 h 7- í uo sinh -d- 2n -TO Từ đó ta có 1 TO TO -h2a2t u x t i í í uo e-h a tcosh ệ - x dệ dh J TT J J 2n -TO -TO 1 TO TO .22 u x t í í e-h a 1 cosh ệ - x dh u0 d 5 -x ta tính tích phân đơn bên trong bằng phương pháp đối biến T haVt 0 s r- Jt í e h a 1 cosh ệ - x dh í e T cos 0rdr I 0 0 a Jt 0 aVt Trong đó I 0 í e-T cos 0rdr 0 Sau khi lấy đạo hàm của 6 theo 0 rồi tích phân từng phần ta có T 0 01 0 XO 0 I 0 Ce- 2 I 0 2 Khi 0 0 ta có TO 2 -i n C I 0 je dT - -02 nên I 0 22L e 4 í e-h a 1 cosh ệ - x dh exp - x 0 Wt L 4a2t _ Thay vào ta có u x t -L_ TO u. exp - - TOTOr-b 2a j nt -TO _ 4a t _ 6 7 Công thức 7 được gọi là công thức Poisson của bài toán Cauchy. Đối với bài toán Cauchy trong không gian n chiều của quá trình truyền nhiệt d 2u 2 ổ2u d 2u d2u a2 l dt2 ổx 2 Ổx2 dxn với các điều kiện đầu u x x2 . xn t t 0 uo x x2 -- xn Người ta chứng minh được nghiệm của phương trình là 170 1 TO TO TO U Xi X2 . Xn t . J J J u0 1 2 . -n exp 2 a nt -TO-TO -TO -4 Đối với bài toán truyền nhiệt trong thanh nửa vô hạn ta xét các bài toán nhỏ ứng với từng trường hợp riêng rồi mới xét đến bài toán tổng quát. 2. Bài toán 1 Truyền nhiệt trong thanh nửa vô hạn cách nhiệt đầu mút thanh biết nhiệt độ ban đầu của thanh bằng không Khi này ta phải giải phương trình ổ2u 2 ổ2u - M -7-7- a2 0 X TO t 0 dt2 dx2 với các điều kiện u x t t 0 uo x 8 9 n1 du 0 dt t 0 10 Để giải bài toán ta kéo dài chẵn hàm uo x sang phần âm của trục x và áp dụng công thức 7 . Khi đó nó sẽ thoả mãn 8 . Mặt khác theo 7 ta cũng sẽ có 1 TO 1 - A Juo - - - x exp 4a Hnt -TO - - x 2 4a2t Từ đó suy ra 10 r - x 21 1 TO r - x 2 u x t 7TXT J u. exp - d- 7-V- J d- 2aVnt -TO _ 4a t _ 2 ỉnt 0 TO 4a t _ Trong tích phân đầu ta đổi biến - và do tính chất chẵn của u ta sẽ có 1 0 - x 2 1 TO - x 2 u x 2ừĩ_M exp - 1 .x d- 4 -d- 2aV nt -TO 4a t 2aV nt 0 4a t u x t 1 TO . í . - p - x 2 4a2t exp - - x 2 4a2t fd- ì d- f
